n^y mod Z = n mod Z < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie:
Es gibt kein Zahlensystem Z>10, in dem gilt:
Es gibt mindestens ein [mm] y\ge2 (y\in \IN), [/mm] so dass für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt:
[mm] n^{y} [/mm] (mod Z) = n (mod Z)
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In Thread 571589 wurde gezeigt, dass im Dezimalsystem (also für Z=10) dieses gesuchte y gleich 5 ist.
(Jede natürliche Zahl n hoch 5 hat dieselbe Endziffer wie n).
Für Z=3 ist die Bedingung ebenfalls erfüllt mit y gleich 3.
Das ist allerdings keine so große Kunst, weil n=0 und n=1 in jedem System für jedes y erfüllt sind (da 0*0 immer Null ist und 1*1 immer Eins ist).
Somit muss man nur noch n=2 überprüfen: [mm] 2^{3} [/mm] (mod 3) = 2
Im Oktalsystem (Z=8) dagegen gibt es kein solches y.
Hier der „Beweis“:
[mm] 3^{G} [/mm] (mod 8) = 1 (also niemals 3) / G: gerade Zahl
[mm] 4^{U} [/mm] (mod 8) = 0 (also niemals 4) / U: ungerade Zahl
Ich kann mir kaum vorstellen, dass es so ein Z>10 gibt.
Aber kann man „beweisen“, dass es wirklich keines gibt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 So 12.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Beweisen oder widerlegen Sie:
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> Es gibt kein Zahlensystem Z>10, in dem gilt:
> Es gibt mindestens ein [mm]y\ge2 (y\in \IN),[/mm] so dass für
> alle [mm]n\in \IN[/mm] gilt:
>
> [mm]n^{y}[/mm] (mod Z) = n (mod Z)
>
> In Thread 571589 wurde gezeigt, dass im Dezimalsystem (also
> für Z=10) dieses gesuchte y gleich 5 ist.
> (Jede natürliche Zahl n hoch 5 hat dieselbe Endziffer wie
> n).
Allgemeiner kann man sagen: ist $Z$ quadratfrei, so gibt es so ein $y$ (naemlich [mm] $\Phi(Z) [/mm] + 1$).
> Für Z=3 ist die Bedingung ebenfalls erfüllt mit y gleich
> 3.
> Das ist allerdings keine so große Kunst, weil n=0 und n=1
> in jedem System für jedes y erfüllt sind (da 0*0 immer
> Null ist und 1*1 immer Eins ist).
> Somit muss man nur noch n=2 überprüfen: [mm]2^{3}[/mm] (mod 3) =
> 2
>
>
> Im Oktalsystem (Z=8) dagegen gibt es kein solches y.
>
> Hier der „Beweis“:
> [mm]3^{G}[/mm] (mod 8) = 1 (also niemals 3) / G: gerade Zahl
> [mm]4^{U}[/mm] (mod 8) = 0 (also niemals 4) / U: ungerade Zahl
Der wichtige Punkt ist hier: $Z$ ist nicht quadratfrei. Allgemein: ist $Z = [mm] p^n$ [/mm] fuer eine Primzahl $p$ mit $n > 1$, so kannst du immer [mm] $p^{n-1}$ [/mm] betrachten, was durch's potenzieren immer auf 0 geht.
LG Felix
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| Aufgabe | > Allgemeiner kann man sagen: ist [mm]Z[/mm] quadratfrei, so gibt es
> so ein [mm]y[/mm] (naemlich [mm]\Phi(Z) + 1[/mm]).
a) Was bedeutet "quadratfrei" ?
b) Wie ermittelt man [mm]\Phi(Z)[/mm] ?
c) Welche Zahlen größer als 10 sind denn noch quadratfrei ? |
Zu c):
Falls es (unendlich viele) solche quadratfreien Zahlen größer Zehn gibt, dann hieße das also, dass die Ursprungsaussage widerlegt wäre.
Oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 So 12.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Allgemeiner kann man sagen: ist [mm]Z[/mm] quadratfrei, so gibt es
> > so ein [mm]y[/mm] (naemlich [mm]\Phi(Z) + 1[/mm]).
>
> a) Was bedeutet "quadratfrei" ?
Das jeder Primfaktor nur einfach vorkommt. Oder anders gesagt: es gibt keine natuerliche Zahl $n$, so dass [mm] $n^2$ [/mm] ein Teiler der Zahl ist.
> b) Wie ermittelt man [mm]\Phi(Z)[/mm] ?
Siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
> c) Welche Zahlen größer als 10 sind denn noch quadratfrei
> ?
Fast alle. Z.B. 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, ...
Jede Primzahl ist z.B. quadratfrei, und davon gibt es unendlich viele.
> Zu c):
> Falls es (unendlich viele) solche quadratfreien Zahlen
> größer Zehn gibt, dann hieße das also, dass die
> Ursprungsaussage widerlegt wäre.
> Oder?
Ja.
Es gibt beliebig grosse Zahlen, fuer die es ein solches $y$ gibt, und beliebig grosse Zahlen, fuer die es kein solches $y$ gibt.
LG Felix
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