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Hallo....
Sollen in Mathe einen Vortrag zum Thema nummerische Integration ausarbeiten. Habe mich schon informiert, aber irgendwie werde ich nicht schlau draus.
Ich hatte gedacht ich beginne meinen vortrag mit einem kurzen Rückblich auf die Integralrechnung und komme dann mit der Definition zur numerischen Integration. Dann wollte ich auf einige Verfahren eingehen.Es gibt ja dazu eine ganze Menge Verfahren und da bin ich mir nicht sicher, welche ich nehemen soll.Bis jetzt habe mich für die Romberg Integration und für die Newton Cotes Formel entschieden, wobei ich mir aber nicht sicher bin, denn die Newton Cotes Formel is doch ein Überbegriff für einige weiter Verfahren, oder?? Dazu gehören die Rechteck und Trapezmethode, nicht wahr?
Danke schonmal im Voraus....
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Hallo kleinekitty!
Wie lang soll dein Vortrag denn sein? Soll er eine ganze Stunde (=45 Min) dauern? Ist es eine Art Referat oder was genau verstehst du unter Vortrag?
> welche ich nehemen soll.Bis jetzt habe mich für die Romberg
> Integration und für die Newton Cotes Formel entschieden,
> wobei ich mir aber nicht sicher bin, denn die Newton Cotes
> Formel is doch ein Überbegriff für einige weiter Verfahren,
> oder?? Dazu gehören die Rechteck und Trapezmethode, nicht
> wahr?
Soweit ich weiß, schon. Also ich würde mit der Trapezregel anfangen (Rechteck sagt mir im Moment nichts, könnte aber noch "einfacher" sein, so dass du die noch vor die Trapezregel setzen könntest), dann die Simpsonregel und wenn du noch Zeit hast, kannst du ja noch die Romberg Integration nehmen. Kann mich nicht mehr genau daran erinnern, aber ich glaube, da wird die Trapezregel bei benutzt, deswegen solltest du die auf jeden Fall vorher nehmen.
So, ich mache mal aus deiner Frage eine Umfrage, da sicher andere Leute noch mehr Ahnung und Ideen haben als ich. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Fr 18.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich hatte gedacht ich beginne meinen vortrag mit einem
> kurzen Rückblich auf die Integralrechnung und komme dann
> mit der Definition zur numerischen Integration. Dann wollte
> ich auf einige Verfahren eingehen.Es gibt ja dazu eine
> ganze Menge Verfahren und da bin ich mir nicht sicher,
> welche ich nehemen soll.Bis jetzt habe mich für die Romberg
> Integration und für die Newton Cotes Formel entschieden,
> wobei ich mir aber nicht sicher bin, denn die Newton Cotes
> Formel is doch ein Überbegriff für einige weiter Verfahren,
> oder?? Dazu gehören die Rechteck und Trapezmethode, nicht
> wahr?
Diese Verfahren arbeiten nach demselben Prinzip: man teilt das Integrationsintervall ich gleich breite Teilstücke, und nähert die zu integrierende Funktion f durch einfachere Funktionen [mm]f_i[/mm] an, und zwar mit getrennt für jeden schmalen Streifen.
Rechteckregel: Approximation durch eine konstante Funktion: [mm]f_i =a_0 [/mm],
Trapezregel: Approximation durch eine lineare Funktion: [mm]f_i=a_0 +a_1 x[/mm],
Simpsonregel: Approximation durch eine quadratische Funktion: [mm] f_i = a_0 +a_1 x +a_2 x^2 [/mm].
![[]](/images/popup.gif) Hier und hier findest du eine übersichtliche Darstellung.
Diese Näherung kann man auch mit Polynomen höheren Grades durchführen; das nächste wäre ja [mm]f_i = a_0 +a_1 x +a_2 x^2+a_3x^3[/mm].
Die Newton-Coates-Formeln stellen diese Verallgemeinerung dar: die einfachsten Fälle ergeben die Rechteck-, Trapez- und Simpsonregel.
Hier gibt's eine interaktive Demo dazu.
Beim Romberg-Verfahren passt man die Breite der Streifen solange an, bis eine gewünschte Genauigkeit erreicht wird. Dazu wird (im Prinzip) das Integral näherungsweise für verschiedene Streifenbreite berechnet und daraus das Ergebnis extrapoliert. Hier findest Info dazu, und hier ist eine interaktive Demo.
Ein Nachteil dieser Verfahren ist, dass die Breite der Streifen (die Schrittweite) im ganzen Integrationsintervall dieselbe ist. Es kommt aber durchaus vor, dass man zum in einem Teil des Intervalls sehr schmale Streifen braucht, um die gewünschte Genauigkeit zu erreichen, in einem anderen Teil aber mit breiten Streifen auskommt. Dafür gibt es adaptive Verfahren, die die Breite der Streifen der Funktion anpassen: dort wo die Funktion sich nur wenig ändert, werden die Streifen breiter gewählt, aber dort, wo sie sich schnell ändert, wählt das Verfahren schmale Streifen.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 Sa 19.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Kitty
Wenn das nicht ne Jahresarbeit werden soll, sondern ein Vortrag von max 45 Min
solltest du dir nicht zu viel vornehmen:
Rechteck (Treppe), Trapez und Simpsonregel zu erklären und jeweils an einem einfachen und einem anspruchsvolleren Beispiel vorzuführen reichen für Klasse 11 bis 12 sicher aus.
Leg lieber mehr Wert auf gute Erklärungen, gute Veranschaulichung usw. als auf zu "hohe" Verfahren (also kein Romberg) (ob dein LehrerIn mehr will, kannst du ja lieber nachfragen)
Gruss leduart
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