nullteilerfreie Algebra < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 Di 08.06.2010 | | Autor: | jxn |
| Aufgabe | Es sei A eine endlich-dimensionale kommutative [mm] \IK [/mm] - Algebra mit Eins. Zeigen Sie, dass A genau dann ein Körper ist, wenn A nullteilerfrei ist.
Tip: um für ein 0 [mm] \not=a \in [/mm] A ein Inverses zu finden, betrachten Sie die [mm] \IK [/mm] - lineare Abbildung [mm] \rho_a: [/mm] A [mm] \to [/mm] A; [mm] \rho_a(b)=ab. [/mm] Was bedeutet Nullteilerfreiheit für [mm] \rho_a? [/mm] |
Hallo zusammen,
eine [mm] \IK [/mm] - Algebra haben wir definiert als [mm] \IK [/mm] - Vektorraum mit multiplikativer Struktur, die assoziativ ist, für die das Distributivgesetzt gilt und [mm] \lambda(ab)=(\lambda a)b=a(\lambda [/mm] b), [mm] \lambda \in \IK, [/mm] a,b [mm] \in [/mm] A.
Das heißt schonmal, dass für die Verknüpfung [mm] \oplus [/mm] A eine abelsche Gruppe ist. Distributiv- und Assoziativgesetz gelten auch. Nach Voraussetzung auch Kommuttativität und die Existenz eines neutralen Elements 1.
Bleibt letztlich nur die Existenz multiplikativ inverser Elemente zu zeigen.
Ist die eine Richtung nicht klar? Ich meine mich zu erinnern, dass jeder Körper nullteilerfrei ist.
Meine Gedanken zur anderen Richtung:
Betrachte [mm] \rho_a [/mm] , wie im Tip gegeben: da A endlichdimensional ist und [mm] \rho_a [/mm] endomorph, lässt sich [mm] \rho_a [/mm] durch eine quadratische Matrix beschreiben (bzgl. einer Basis von A).
Sei nun [mm] \rho_a [/mm] nullteilerfrei, das heißt: [mm] \rho_a(b)\not=0, \forall b\not=0.
[/mm]
Hieraus folgt, dass [mm] \rho_a [/mm] einen trivialen Kern hat und somit isomorph ist.
Weiter wissen wir, dass eine 1 in A existiert. Erfülle nun [mm] x\in [/mm] A [mm] 1=\rho_a(x)=ax. [/mm] Wegen der Injektivität ist x eindeutig.
Reicht das um zu folgern, dass sich Inverse finden lassen und somit eine nullteilerfreie Algebra wie oben alle Körperaxiome erfüllt?
Danke!
Gruß,
jxn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es sei A eine endlich-dimensionale kommutative [mm]\IK[/mm] -
> Algebra mit Eins. Zeigen Sie, dass A genau dann ein Körper
> ist, wenn A nullteilerfrei ist.
>
> Tip: um für ein 0 [mm]\not=a \in[/mm] A ein Inverses zu finden,
> betrachten Sie die [mm]\IK[/mm] - lineare Abbildung [mm]\rho_a:[/mm] A [mm]\to[/mm] A;
> [mm]\rho_a(b)=ab.[/mm] Was bedeutet Nullteilerfreiheit für [mm]\rho_a?[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> eine [mm]\IK[/mm] - Algebra haben wir definiert als [mm]\IK[/mm] - Vektorraum
> mit multiplikativer Struktur, die assoziativ ist, für die
> das Distributivgesetzt gilt und [mm]\lambda(ab)=(\lambda a)b=a(\lambda[/mm]
> b), [mm]\lambda \in \IK,[/mm] a,b [mm]\in[/mm] A.
>
> Das heißt schonmal, dass für die Verknüpfung [mm]\oplus[/mm] A
> eine abelsche Gruppe ist. Distributiv- und Assoziativgesetz
> gelten auch. Nach Voraussetzung auch Kommuttativität und
> die Existenz eines neutralen Elements 1.
> Bleibt letztlich nur die Existenz multiplikativ inverser
> Elemente zu zeigen.
>
> Ist die eine Richtung nicht klar? Ich meine mich zu
> erinnern, dass jeder Körper nullteilerfrei ist.
Richtig
>
> Meine Gedanken zur anderen Richtung:
> Betrachte [mm]\rho_a[/mm] , wie im Tip gegeben: da A
> endlichdimensional ist und [mm]\rho_a[/mm] endomorph, lässt sich
> [mm]\rho_a[/mm] durch eine quadratische Matrix beschreiben (bzgl.
> einer Basis von A).
Die Abbildungsmatrix benötigst Du nicht
>
> Sei nun [mm]\rho_a[/mm] nullteilerfrei,
Du meinst sicher: Sei nun [mm]A[/mm] nullteilerfrei,
Für 0 [mm] \ne [/mm] a [mm] \in [/mm] A ist dann
[mm]\rho_a(b)\not=0, \forall b\not=0.[/mm]
>
> Hieraus folgt, dass [mm]\rho_a[/mm] einen trivialen Kern hat
Richtig
> und
> somit isomorph ist.
Nein . Du drückst Dich falsch aus. [mm]\rho_a[/mm] ist nicht isomorph. [mm]\rho_a[/mm] ist ein Isomorphismus
>
> Weiter wissen wir, dass eine 1 in A existiert. Erfülle nun
> [mm]x\in[/mm] A [mm]1=\rho_a(x)=ax.[/mm] Wegen der Injektivität ist x
> eindeutig.
Na ja ....
Wir wissen schon: [mm]\rho_a[/mm] ist injektiv. Da dim(A) < [mm] \infty [/mm] ist, ist [mm]\rho_a[/mm] auch surjektiv.
Somit gibt es ein eindeutig bestimmtes b [mm] \in [/mm] A mit: 1= [mm]\rho_a(b)= ab[/mm]
Da A kommutativ ist, haben wir: (*) 1=ab=ba
Fazit: zu jedem a [mm] \in [/mm] A mit a [mm] \ne [/mm] 0 gibt es ein b [mm] \in [/mm] A , sodass (*) gilt
FRED
>
> Reicht das um zu folgern, dass sich Inverse finden lassen
> und somit eine nullteilerfreie Algebra wie oben alle
> Körperaxiome erfüllt?
>
> Danke!
> Gruß,
> jxn
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Di 08.06.2010 | | Autor: | jxn |
Soweit alles verstanden. Dank dir!
Gruß,
jxn
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