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| Aufgabe | | geben sie den größtmöglichen bereich an, indem die funktion f(x) = [mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm] stetig ist und berechnen sie den grenzwert für x gegen [mm] \pm \infty. [/mm] geben sie zusätzlich sämtliche nullstellen an. |
meine lösung:
Defi: ganz [mm] \IR [/mm] \ {0}
dann habe ich geprüft ob an der stelle null die funktion stetig ergänzbar ist:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{sin(x)}{x} [/mm] (regel von bernoulli)
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{cos(x)}{1} [/mm] = cos(0) =1
daraus schließe ich sie ist stetig ergänzbar.
wenn ich nun die nullstellen berechne muss ich schauen wann der zähler = 0 wird. sin(x)=0 bei x= [mm] k*\pi [/mm] mit k [mm] \in \IZ.
[/mm]
nun die frage: ist die aufgabe richtig mit [mm] k\in \IZ [/mm] oder mit [mm] k\in \IZ [/mm] \ {0}
weil ich nicht weiß ob die null nun doch dazuzählt da die funktion für 0 ja stetig ergänzbar ist.
danke für jede hilfe.
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für den sin(x) ja. da [mm] sin(0*\pi) [/mm] = sin(0) =0
aber für [mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm] wäre das ja unzulässig da durch 0 dividiert wird.
es sei denn, durch die stetige ergänzung, was ja auch hebbarkeit oder so ähnlich heißt. wird an der stelle wo die funktion eine definitionslücke hat die funktion auf den errechneten grenzwert angehoben. dann würde die funktion für x=0 an der stelle bei y=1 die y-achse schneiden aber eine nullstelle wäre es nicht.
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Hallo freak-club,
> für den sin(x) ja. da [mm]sin(0*\pi)[/mm] = sin(0) =0
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> aber für [mm]\bruch{sin(x)}{x}[/mm] wäre das ja unzulässig da
> durch 0 dividiert wird.
>
> es sei denn, durch die stetige ergänzung, was ja auch
> hebbarkeit oder so ähnlich heißt. wird an der stelle wo
> die funktion eine definitionslücke hat die funktion auf
> den errechneten grenzwert angehoben. dann würde die
> funktion für x=0 an der stelle bei y=1 die y-achse
> schneiden aber eine nullstelle wäre es nicht.
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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