nullstellen des 4.grades < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Fr 24.08.2007 | | Autor: | Simge |
| Aufgabe | | [mm] x^4-2=0 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich bin verzweifelt, kann mir jemand bitte bitte helfen. ich muss die nullstellen bestimmen aber ich weiß nicht wie.
Aufgabe: [mm] x^4-2=0
[/mm]
Danke im Voraus!
Gruß simge
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Fr 24.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Simge,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wenn Du hier umstellst zu: [mm] $x^4 [/mm] \ = \ 2$ , kannst Du nun die 4. Wurzel ziehen:
$x \ = \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel[4]{2}$
[/mm]
Es geht auch etwas anders durch Anwendung der 3. binomischen Formel:
$0 \ = \ [mm] x^4-2 [/mm] \ = \ [mm] \left(x^2-\wurzel{2}\right)*\left(x^2+\wurzel{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \left(x-\wurzel{\wurzel{2}}\right)*\left(x+\wurzel{\wurzel{2}}\right)*\left(x^2+\wurzel{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \left(x-\wurzel[4]{2}\right)*\left(x+\wurzel[4]{2}\right)*\left(x^2+\wurzel{2}\right)$
[/mm]
Und nun das Prinzip des Nullproduktes anwenden ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Fr 24.08.2007 | | Autor: | Simge |
Vielen Dank!
Aber ich hab da noch eine Frage. Kann ich die aufgabe durch polynomdivision runterdividieren bis zur zweiten Potenz und dann die p-q-Formel anwenden? Geht das, und wie muss ich das dann anstellen?
Gruß Simge
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Hallo!
Eine direkte Formel gibts dafür nicht, aber in so einem Fall kannst du eine Substitution machen: z=x². Dann steht da z²-2=0. Diese Aufgabe kannst du nun wie gewohnt lösen, da kommt [mm] $z=\pm\wurzel{2}$ [/mm] heraus.
Und da [mm] x=\pm\wurzel{z} [/mm] ist, kannst du nun das auchberechnen:
[mm] x=\pm\wurzel{\pm\wurzel{2}}
[/mm]
Es gibt also vier Lösungen, von denen allerdings zwei komplex sind, und daher in [mm] \IR [/mm] keine Lösung haben. Es bleiben nur noch zwei Lösungen:
[mm] x=\pm\wurzel{+\wurzel{2}}=\pm\wurzel[4]{2}
[/mm]
Diese Substitution ist auch dann möglich, wenn da noch ein x² in der Gleichung steht, nicht aber, wenn es ein x oder x³ gibt.
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>
> Kann ich die aufgabe durch
> polynomdivision runterdividieren bis zur zweiten Potenz
Hallo,
bedenke, daß das "Runterdividieren nur funktioniert, wenn Du bereits eine Nullstelle kennst. Dann kannst Du durch (x-Nullstelle) dividieren.
Du ahnst, daß das in Deinem Fall, [mm] f(x)=x^4-2 [/mm] wenig Vorteile bringt. Mit Kenntnis der dritten binomischen Formel ist man schneller und bequemer am Ziel.
Aber z.B. hier kannst Du das gut machen: [mm] g(x)=x^3+6x^2+11x+6
[/mm]
Eine Nullstelle kann man oft durch Raten finden, hier z.B. x=-1.
Wenn Du nun durch (x+1) dividierst, bekommst Du ein Polynom 2. Grades, welches Du mit der pq-Formel bearbeiten kannst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 Sa 25.08.2007 | | Autor: | Simge |
Hallo!
Vielen Dank an euch alle! Sehr nett von euch. Das Problem war halt, dass ich auf einer neuen Schule bin und daheim kann mir keiner helfen.
Das hier ist echt eine tolle Sache.
Nochmals dankeschön an alle!
Liebe Grüße
Simge
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