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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 So 17.05.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Sei [mm] A\in M(n\times [/mm] n,K).
Zeige: Ist p(T) ein normiertes Polynom mit p(A)=0 und ist der konstante Koeffizient von p(T) von null verschieden, dann ist A invertierbar und [mm] A^{-1} [/mm] lässt sich als Linearkombination von Potenzen von A schreiben. |
Hallo,
leider komme ich mit dieser Aufgabe garnicht zu recht. Also wenn p(T) normiert ist, bedeutet das doch, dass der höchste Koeffizient gleich 1 ist, also das ganze etwa so [mm] a_0T^0+...+T^n [/mm] aussieht. Wenn ich für T nun A einsetze, ergibt das schließlich 0. Aber was soll dieser konstante Koeffizient? Bedeutet das, dass jeder Teil des Polynoms den gleichen Koeffizient hat, also das ganze so aussieht: [mm] aT^0+aT^1+aT^2+...+T^n?
[/mm]
Wie ich dann zeige, dass A invertierbar ist, ist mir schleierhaft und das mit der Linearkombination weiß ich leider auch nicht.
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> Sei [mm]A\in M(n\times[/mm] n,K).
> Zeige: Ist p(T) ein normiertes Polynom mit p(A)=0 und ist
> der konstante Koeffizient von p(T) von null verschieden,
> dann ist A invertierbar und [mm]A^{-1}[/mm] lässt sich als
> Linearkombination von Potenzen von A schreiben.
> Hallo,
>
> leider komme ich mit dieser Aufgabe garnicht zu recht. Also
> wenn p(T) normiert ist, bedeutet das doch, dass der höchste
> Koeffizient gleich 1 ist, also das ganze etwa so
> [mm]a_0T^0+...+T^n[/mm] aussieht.
Hallo,
soweit richtig.
>Wenn ich für T nun A einsetze,
> ergibt das schließlich 0.
Ja.
> Aber was soll dieser konstante
> Koeffizient? Bedeutet das, dass jeder Teil des Polynoms den
> gleichen Koeffizient hat, also das ganze so aussieht:
> [mm]aT^0+aT^1+aT^2+...+T^n?[/mm]
Nein. Es ist gemeint, daß es so aussieht wie oben, daß aber unbedingt [mm] a_0\not\=0 [/mm] ist.
> Wie ich dann zeige, dass A invertierbar ist, ist mir
> schleierhaft und das mit der Linearkombination weiß ich
> leider auch nicht.
Überleg Dir erstmal, was es bedeutet, wenn A invertierbar ist, und was es bedeutet, wenn [mm] A^{-1} [/mm] eine Linearkombination von Potenzen von A ist.
Dann sezte A ein ins Polynom und leite die Fahndung nach [mm] A^{-1} [/mm] ein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 So 17.05.2009 | | Autor: | Unk |
> Nein. Es ist gemeint, daß es so aussieht wie oben, daß aber
> [mm]a_0=0[/mm] ist.
>
Aber der konstante Koeffizient soll doch von Null verschieden sein. Müsste
dann nicht [mm] a_0\neq [/mm] 0 sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Mo 18.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Aber der konstante Koeffizient soll doch von Null
> verschieden sein. Müsste
> dann nicht [mm]a_0\neq[/mm] 0 sein?
Ja, muss es. Das war ein (Schreib-?)Fehlerchen.
SEcki
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> Ja, muss es. Das war ein (Schreib-?)Fehlerchen.
Hallo,
entschuldigung, das war ja wirklich ziemlich sinnentstellend, ist korrigiert.
Gruß v. Angela
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