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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Mi 09.04.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo ihr lieben!
ich habe folgenden aufgabe zu lösen:
Für eine Menge [mm] M\not=\emptyset [/mm] sei:
[mm] B(M):={f:M\to IK:sup |f(x)|<\infty}, \parallel \parallel_{\infty}:B(M) \to [0,\infty[, \parallel [/mm] f [mm] \parallel_{\infty} :=x\in [/mm] M sup |f(x)|
zeigen sie dass [mm] (B(M),\parallel [/mm] . [mm] \parallel_{\infty}) [/mm] unter punktweise definierter addition und skalarmultiplikation ein normierter raum ist.
könnt ihr mir dabei vielleicht helfen,also mit normierten räumen komm ich irgendwie gar nicht zurecht,ich versteh schon allein die definition der aufgabe nicht.
gruß und danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo ihr lieben!
> ich habe folgenden aufgabe zu lösen:
> Für eine Menge [mm]M\not=\emptyset[/mm] sei:
> [mm]B(M):=\{f:M\to \IK:sup |f(x)|<\infty\}, \parallel .\parallel_{\infty}:B(M) \to [0,\infty[[/mm], [mm] $\parallel [/mm] f [mm] \parallel_{\infty} :=\sup\{|f(x): x \in M|\}$
[/mm]
> zeigen sie dass [mm](B(M),\parallel[/mm] . [mm]\parallel_{\infty})[/mm]
> unter punktweise definierter addition und
> skalarmultiplikation ein normierter raum ist.
> könnt ihr mir dabei vielleicht helfen,also mit normierten
> räumen komm ich irgendwie gar nicht zurecht,ich versteh
> schon allein die definition der aufgabe nicht.
also $B(M)$ ist einfach die Menge der auf $M$ beschränkten Funktionen. Zum Beispiel wäre [mm] $f(x):=-\frac{1}{x}$ [/mm] auf [mm] $M:=(0,\infty)$ [/mm] eine Funktion mit $f [mm] \notin [/mm] B(M)$, weil z.B. [mm] $\left|f\left(\frac{1}{n}\right)\right|=\left|\frac{1}{-\frac{1}{n}}\right|=n \to \infty$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] und alle [mm] $x=x_n=\frac{1}{n}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] erfüllen [mm] $x_n \in (0,\infty)$.
[/mm]
Würden wir aber [mm] $f(x)=-\frac{1}{x}$ [/mm] auf [mm] $M:=(1,\infty)$ [/mm] betrachten, so wäre $f [mm] \in [/mm] B(M)$, da dort z.B. $|f(x)| [mm] \le [/mm] 2$ für alle $x [mm] \in [1,\infty)$ [/mm] gelten würde (die $2$ rechterhand kann man hier mit einer einfachen Begründung durch $1$ ersetzen, und $1$ ist dann aber "bestmöglich" für diese Abschätzung).
Und dass man bei der Definition von $B(M)$ mit dem Supremum arbeitet, liegt einfach an der Tatsache, dass eine Funktion ja nicht ihr (Betrags-)Maximum annehmen muss.
Was Du Dir aber klarmachen solltest:
Es gilt für $f: M [mm] \to \IK$:
[/mm]
$f [mm] \in [/mm] B(M)$ genau dann, wenn es eine Konstante [mm] $\infty \not=K [/mm] > 0$ so gibt, dass für alle $x [mm] \in [/mm] M$ gilt, dass $|f(x)| [mm] \le [/mm] K$.
Mit punktweise definierter Addition meint man folgendes:
Wenn man zwei auf $M$ definierte Funktionen $f$ und $g$ hat, so könnte man ja eine Addition $f [mm] \oplus [/mm] g$ irgendwie definieren, z.B. mittels:
$(f [mm] \oplus g)(x):=\sqrt(2)f(x)+7000*g(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] M$, wobei das $+$ rechterhand natürlich die Addition in [mm] $\IK$ [/mm] ist.
Oben steht quasi, dass aber $f [mm] \oplus [/mm] g$ definiert werde durch
$(f [mm] \oplus [/mm] g)(x):=f(x)+g(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] M$. Dann schreibt man meistens auch anstatt $f [mm] \oplus [/mm] g$ dann einfach $(f+g)$, also:
$(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] M$.
Analog: Für [mm] $\alpha \in \IK$ [/mm] und einer auf $M$ definierten Funktion $f$ definiert man dann die Funktion [mm] $\alpha \odot [/mm] f$ mittels
[mm] $(\alpha \odot f)(x):=\alpha [/mm] *f(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] M$.
Und auch hier schreibt man dann einfach anstatt [mm] $\alpha \odot [/mm] f$ dann [mm] $\alpha [/mm] * f$, d.h. [mm] $(\alpha *f)(x)=\alpha*f(x)$ [/mm] gilt für alle $x [mm] \in [/mm] M$.
Beispiel:
$f(z)=z$ und [mm] $g(z)=z^2$ [/mm] auf [mm] $M=\{z \in \IC: |z| \le 1\}=:K_1(0)$. [/mm] Dann ist
[mm] $(f+g)(z)=f(z)+g(z)=z+z^2$ [/mm] für alle $z [mm] \in K_1(0)$ [/mm] sowie z.B.
$(i*f)(z)=i*f(z)=i*z$ für alle $z [mm] \in K_1(0)$.
[/mm]
Nun zu der Aufgabe:
Ist $M [mm] \not=\emptyset$, [/mm] so hoffe ich, dass Dir klar ist (oder Du solltest es beweisen), dass dann
[mm] $V:=\{f: M \to \IK\}$ [/mm] (d.h. die Menge aller Abbildungen von $M$ nach [mm] $\IK$) [/mm] mit der oben definierten punktweise Addition (also präzise: mit [mm] $\oplus$) [/mm] und der oben definierten Skalarmultiplikation (also [mm] $\odot$) [/mm] dann einen [mm] $\IK$-Vektorraum [/mm] bildet.
Das wird Dir hier helfen, denn:
Du sollst zeigen, dass [mm] $(B(M),||.||_\infty)$ [/mm] ein normierter Raum ist, also zunächst mal, dass [mm] $(B(M),\oplus,\odot)$ [/mm] überhaupt ein [mm] $\IK$-Vektorraum [/mm] ist. Wenn Du weißt, dass [mm] $(V,\oplus,\odot)$ [/mm] einen [mm] $\IK$-Vektorraum [/mm] bildet, so brauchst Du dann für [mm] $(B(M),\oplus,\odot)$ [/mm] nur die Unterraumaxiome zu prüfen, also:
1.) Gibt es ein Nullelement in $B(M)$, d.h. existiert eine auf $M$ definierte und dort beschränkte Funktion $n$ so, dass $(n [mm] \oplus [/mm] f)=f$ für jedes $f [mm] \in [/mm] B(M)$ ist? Ja, hier nehme einfach die Funktion $n$ definiert durch $n(x):=0$ ($x [mm] \in [/mm] M$).
Zeige, dass für jedes $f [mm] \in [/mm] B(M)$ dann $n [mm] \oplus [/mm] f=f$ gilt, indem Du nachweist:
$n: M [mm] \to \IK$ [/mm] (das ist klar) erfüllt $(n [mm] \oplus [/mm] f)(x)=f(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] M$ (das ist äußerst einfach).
Eine einfache Frage:
Warum ist dieses $n$ auf $M$ beschränkt? [mm] ($\leftarrow$ die letzte Frage ist so banal, dass ich mir überlegt habe, ob ich sie Dir überhaupt stellen soll. Aber da die Funktion $n$ mit $n(x) \equiv 0$ ja auch $n \in B(M)$ erfüllen muss, musst Du Dich damit abfinden, dass man manchmal auch die einfachsten Fragen beantworten muss, um eine Aufgabe komplett zu lösen ;-).)
2.) Du mußt begründen:
Sind $f,g \in B(M)$, so ist auch $(f \oplus g) \in B(M)$. In Worten:
Sind $f,g$ auf $M$ beschränkte Funktionen, so ist auch die Funktion $f \oplus g$ mit der obigen Definition von $\oplus$ dann eine auf $M$ beschränkte Funktion.
3.) Zu zeigen: Sind $\alpha \in \IK$ und $f \in B(M)$, so ist auch $(\alpha \odot f) \in B(M)$.
Versuche Dich mal an diesen 3.) Schritten. Das erste habe ich Dir schon hingeschrieben, 2.) und 3.) sind ziemliche Banalitäten.
So, hier bist Du aber noch nicht fertig. An dieser Stelle wirst Du dann erst gezeigt haben, dass $(B(M),\oplus,\odot)$ einen $\IK$-Vektorraum bildet. Es bleibt noch zu zeigen, dass $||.||_{\infty}$ dann eine Norm auf $B(M)$ ist.
D.h. Du hast folgende Normaxiome noch zu prüfen:
(N1) Es gilt für $f \in B(M)$: $||f||_{\infty}=0$ $\gdw$ $f=0$ (die $0$ rechterhand ist das neutrale Element bzgl. $\oplus$, also die "Nullfunktion" in $B(M)$, ich hatte sie mal oben $n$ genannt).
Hier hast Du also zwei Sachen zu zeigen:
1.) $||f||_\infty=0$ $\Rightarrow$ $f(x)=0$ für alle $x \in M$
sowie
2.) $||0||_{\infty}=0$, wobei die $0$ linkerhand eigentlich die "Nullfunktion auf $M$" meint, also $n(x)\equiv0$ (vgl. oben)
(N2) Du hast zu zeigen:
Es gilt für alle $\alpha \in \IK$ und $f \in B(M)$:
$||\alpha \odot f||_\infty=|\alpha|*||f||_\infty$
(N3) Du hast zu zeigen:
Es gilt für alle $f,g \in B(M)$:
$||f \oplus g||_\infty \le ||f||_\infty+||g||_\infty$
((N1) und (N2) sind auch ziemlich banal, bei (N3) musst Du ausnutzen:
$|f(x)+g(x)| \le |f(x)|+|g(x)|$ für alle $x \in M$ und mit Supremumsbildung steht dann die Behauptung auch fast sofort da.)
Ich hoffe, Du verstehst nun die Aufgabenstellung und versuchst Dich an der Aufgabe. :-)
Gruß,
Marcel
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