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Hallo ihr..Ich bins schon wieder;O
Also es geht um die Operatornorm. Diese ist ja wifolgt definiert:
[mm] \left| \left| T \right| \right| [/mm] = sup [mm] {\parallel Tx \parallel _x : x \in X , \parallel x \parallel _x \le 1}
[/mm]
Nun hatten wir den Satz:
[mm] \parallel [/mm] Tx [mm] \parallel_x \le \left| \left| T \right| \right| [/mm] * [mm] \left| \left| x \right| \right|_x [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] X
Jetzt fängt der beweis bei uns im script so an: Definiere für [mm] x\not=0:
[/mm]
d= [mm] \bruch{x}{\left| \left| x \right|\right|} [/mm] ..so daraus soll nun folgen:
[mm] \left| \left| d \right| \right|= [/mm] 1
Wie kommt man darauf? [mm] \left| \left| x \right| \right| [/mm] ist aufgrund der Definition kleiner gleich 1, aber wie komm ich auf diese Norm von d. Verstehe den Schritt nicht..Kann mir den jemand erklären?
Wäre euch sehr dankbar..
Die verzweifelte Sandra;)
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Hallo pusteblume!
> Definiere für [mm]x\not=0:[/mm]
> d= [mm]\bruch{x}{\left| \left| x \right|\right|}[/mm] ..so daraus
> soll nun folgen:
> [mm]\left| \left| d \right| \right|=[/mm] 1
>
> Wie kommt man darauf? [mm]\left| \left| x \right| \right|[/mm] ist
> aufgrund der Definition kleiner gleich 1, aber wie komm ich
> auf diese Norm von d.
Lass dich von der doppelten Notation nicht verwirren: [mm] $\|x\|\le [/mm] 1$ in der Definition von [mm] $\|T\|$, [/mm] aber hier bist du im Beweis von [mm] $\|Tx\|\le\|T\|*\|x\|$ [/mm] - und dort ist [mm] $x\in [/mm] X$ beliebig, also kann [mm] $\|x\|$ [/mm] auch sehr groß sein.
Nun zu [mm] $\|d\|=1$: [/mm] Benutze, dass [mm] $\bruch 1{\|x\|}$ [/mm] ein Skalar ist. Damit folge:
[mm] $\|d\|=\left\|\bruch x{\|x\|}\right\|=\left\|\bruch 1{\|x\|}*x\right\|=\left|\bruch 1{\|x\|}\right|*\|x\|=\bruch{\|x\|}{\|x\|}=1$.
[/mm]
Ist jetzt alles klar?
Gruß, banachella
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Jo vielen dank für die schnelle Antwort!
Grüße von der nun etwas weniger verzweifelten Sandra
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