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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Di 26.02.2013 | | Autor: | Mapunzel |
| Aufgabe | Sei V ein reeller oder komplexer Vektorraum mit $ [mm] \dim(V [/mm] ) = n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] und sei $f [mm] \in [/mm] L(V, V )$
diagonalisierbar. Zeigen Sie, dass es ein Skalarprodukt auf V gibt, so dass f normal bzgl.
dieses Skalarproduktes ist. |
Meine Frage ist einfach nur, wie ist eine Abbildung denn bzgl eine Skalarprodukts normal?
Ich dachte normal heißt nur $ [mm] f\circ f^{ad} [/mm] = [mm] f^{ad}\circ [/mm] f$ ?
Vielen Dank schonmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Di 26.02.2013 | | Autor: | Mapunzel |
Hat das was damit zutun, dass die adjungierte Abbildung von de m skalarprodukt abhängt?
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Hallo,
> Sei V ein reeller oder komplexer Vektorraum mit [mm]\dim(V ) = n \in \mathbb{N}[/mm]
> und sei [mm]f \in L(V, V )[/mm]
> diagonalisierbar. Zeigen Sie, dass
> es ein Skalarprodukt auf V gibt, so dass f normal bzgl.
> dieses Skalarproduktes ist.
> Meine Frage ist einfach nur, wie ist eine Abbildung denn
> bzgl eine Skalarprodukts normal?
> Ich dachte normal heißt nur [mm]f\circ f^{ad} = f^{ad}\circ f[/mm]
Genau.
Und wie du bereits in deiner Mitteilung schreibst,
hängt dies über die adjungierte Abbildung vom Skalarprodukt ab: Die adjungierte Abbildung [mm] $f^{ad}$ [/mm] von $f$ bzgl. eines Skalarprodukts ist definiert über die Eigenschaft
$<f(x),y> = <x, [mm] f^{ad}(y)>$ [/mm] für alle x,y aus dem VR.
Viele Grüße,
Stefan
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Aber kann man nicht eine Abbildung, die diagonalisierbar ist, als Diagonalmatrix darstellen? Dann müsste die Adjungierte doch auch eine Diagonalmatrix sein und dann würden die Matrizen doch unabhängig von dem skalarprodukt kommutieren. Das hört sich auch für mich extrem falsch an, würdde nur gerne wissen wo mein Denkfehler liegt!
Danke schonmal und auch für die schnelle Antwort!
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Hallo,
> Aber kann man nicht eine Abbildung, die diagonalisierbar
> ist, als Diagonalmatrix darstellen?
Bezüglich einer geeigneten Basis mit Sicherheit.
> Dann müsste die
> Adjungierte doch auch eine Diagonalmatrix sein
Wieso?
Das kommt vermutlich aufs Skalarprodukt an.
> und dann
> würden die Matrizen doch unabhängig von dem skalarprodukt
> kommutieren.
Das sagst du jetzt so leicht dahin,
aber du müsstest es erstmal ordentlich aufschreiben.
Also, ran an den Speck 
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 01.03.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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