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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Fr 29.05.2009 | | Autor: | AriR |
hey leute,
unser tutor hat folgendes an die tafel geschrieben:
Sei X ein Banachraum [mm] S:X\to [/mm] X ist wohldefiniert, wenn S(x) für ein [mm] x\in [/mm] X wieder in X liegt. Soweit so gut.
und dies wurde dann folgendermaßen gezeigt: Man hat gezeigt, dass die norm von S kleiner unendlich ist und direkt gefolgert, dass somit [mm] S(x)\in [/mm] X für alle [mm] x\in [/mm] X
diesen schritt habe ich nicht so ganz verstanden. Warum kann ich aus [mm] ||S||<\infty [/mm] folgern, dass [mm] S(x)\in [/mm] X für alle X?? warum liegt S(x) möglicherweise nicht in X wenn [mm] ||S||=\infty?
[/mm]
wäre für eine erklärung sehr dankbar
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Ich vermute mal, S ist ein linearer Operator? Wenn dann die Norm von S [mm] <\infty, [/mm] dann ist S auch stetig. Wenn ich also ein bestimmtes [mm] x_0 [/mm] als Grenzwert einer Folge in X darstellen kann (und das kann ich mit jedem), dann konvergiert auch die Folge der Funktionswerte eindeutig gegen den Funktionswert [mm] S(x_0).
[/mm]
Für den Fall, dass die Norm von S nicht [mm] <\infty [/mm] müsste man ein Gegenbeispiel finden können, mir fällt aber gerade keines ein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Fr 29.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Das ist ja völlig verworren !! ?
Zuerst hat man die Abbildung $ [mm] S:X\to [/mm] $ X (ich nehme an , sie ist linear) und dann stellt sich erst die Frage, ob S beschränkt, also stetig , also
$||S|| = sup [mm] \{ ||Sx||: ||x||=1 \} [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
ist.
FRED
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