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| Aufgabe | 1) Beweisen Sie den Hilbertschen Basissatz: Sei R ein noetherscher Ring, dann ist R[t] noethersch.
2) Finden Sie ein Gegenbeispiel für die Umkehrung, das heißt, finden Sie einen nicht-noetherschen Ring, dessen Polynomring noethersch ist.
3) Beweisen Sie die Aussage des Hilbertschen Basissatz für R[|t|] statt R[t], das heißt zeigen Sie, dass auch der Ring der formalen Potenzreihen über einem noetherschen Ring noethersch ist.
4) Seien R ein noetherscher Ring und P ein Primideal von R. Zeigen Sie, dass dann auch die Lokalisierung [mm] R_{P} [/mm] noethersch ist.
5) Finden Sie ein Gegenbeispiel für die Umkehrung, das heißt einen nicht-noetherschen Ring und ein Primideal in diesem, sodass die Lokalisierung noethersch ist. |
Hallo!
Also den Beweis zu 1) findet man ja überall, endlich viele Leitkoeffizienten von einer rekursiv konstruierten Folge minimalen Grades erzeugen Ideale im zugrundeliegenden Ring, diese Kette wird nicht stationär, was ein Widerspruch zur Noetherzität von R ist. Nun kann man diesen Beweis nicht auf R[|t|] übertragen, denn es gibt ja keine Leitkoeffizienten und Reihen minimalen Grades im Allgemeinen auch nicht...Mhh
Zu 2): Mmh, da müsste man erstmal einen nicht noetherschen Ring finden, auf Anhieb fällt mir da nur der Polynomring in unendlich vielen Variablen ein, aber dessen Polynomring ist ja selbst wieder Polynomring in unendlich vielen Variablen also nicht noethersch...
Zu 4): Ist I ein Ideal in $ [mm] R_{P}=(R\backslash [/mm] P)*R $ so ist es doch von der Form $ [mm] I=(R\backslash [/mm] P) *J $ für ein Ideal J in R, oder? J ist endlich erzeugt, die Erzeuger erzeugen auch I?
Zu 5): Ist nicht {0} ein Primideal in [mm] \IC[t_{1},t_{2},...] [/mm] und die Lokalisierung grade der Quotientenkörper, also insbesondere noethersch?
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nur kurz, deswegen lass ich es mal halb offen
> 1) Beweisen Sie den Hilbertschen Basissatz: Sei R ein
> noetherscher Ring, dann ist R[t] noethersch.
> 2) Finden Sie ein Gegenbeispiel für die Umkehrung, das heißt, finden Sie einen nicht-noetherschen Ring, dessen Polynomring noethersch ist.
> 3) Beweisen Sie die Aussage des Hilbertschen Basissatz für R[|t|] statt R[t], das heißt zeigen Sie, dass auch der Ring der formalen Potenzreihen über einem noetherschen Ring noethersch ist.
> 4) Seien R ein noetherscher Ring und P ein Primideal von R. Zeigen Sie, dass dann auch die Lokalisierung [mm]R_{P}[/mm] noethersch ist.
> 5) Finden Sie ein Gegenbeispiel für die Umkehrung, das heißt einen nicht-noetherschen Ring und ein Primideal in diesem, sodass die Lokalisierung noethersch ist.
> Hallo!
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> Also den Beweis zu 1) findet man ja überall, endlich viele Leitkoeffizienten von einer rekursiv konstruierten Folge minimalen Grades erzeugen Ideale im zugrundeliegenden Ring, diese Kette wird nicht stationär, was ein Widerspruch zur Noetherzität von R ist. Nun kann man diesen Beweis nicht auf R[|t|] übertragen, denn es gibt ja keine Leitkoeffizienten und Reihen minimalen Grades im Allgemeinen auch nicht...Mhh
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eigentlich kann man den Beweis einfach direkt abschreiben. Siehe:
http://www.minet.uni-jena.de/algebra/uebungen/ss-2006/Alg2/algebra2_ul_05.pdf
> Zu 2): Mmh, da müsste man erstmal einen nicht noetherschen Ring finden, auf Anhieb fällt mir da nur der Polynomring in unendlich vielen Variablen ein, aber dessen Polynomring ist ja selbst wieder Polynomring in unendlich vielen Variablen also nicht noethersch...
konkret kannst du dir vielleicht diese aufgabe 3.1 anschauen
http://www.uni-due.de/~sm5004/AlgGeomIUebung/100426.pdf
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> Zu 4): Ist I ein Ideal in [mm]R_{P}=(R\backslash P)*R[/mm] so ist es doch von der Form [mm]I=(R\backslash P) *J[/mm] für ein Ideal J in R, oder? J ist endlich erzeugt, die Erzeuger erzeugen auch I?
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> Zu 5): Ist nicht {0} ein Primideal in [mm]\IC[t_{1},t_{2},...][/mm] und die Lokalisierung grade der Quotientenkörper, also insbesondere noethersch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Do 03.11.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
Das ist ja eine recht umfangreiche Aufgabe.
> 1) Beweisen Sie den Hilbertschen Basissatz: Sei R ein
> noetherscher Ring, dann ist R[t] noethersch.
> 2) Finden Sie ein Gegenbeispiel für die Umkehrung, das heißt, finden Sie einen nicht-noetherschen Ring, dessen Polynomring noethersch ist.
> 3) Beweisen Sie die Aussage des Hilbertschen Basissatz für R[|t|] statt R[t], das heißt zeigen Sie, dass auch der Ring der formalen Potenzreihen über einem noetherschen Ring noethersch ist.
> 4) Seien R ein noetherscher Ring und P ein Primideal von R. Zeigen Sie, dass dann auch die Lokalisierung [mm]R_{P}[/mm] noethersch ist.
> 5) Finden Sie ein Gegenbeispiel für die Umkehrung, das heißt einen nicht-noetherschen Ring und ein Primideal in diesem, sodass die Lokalisierung noethersch ist.
> Hallo!
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> Also den Beweis zu 1) findet man ja überall, endlich viele Leitkoeffizienten von einer rekursiv konstruierten Folge minimalen Grades erzeugen Ideale im zugrundeliegenden Ring, diese Kette wird nicht stationär, was ein Widerspruch zur Noetherzität von R ist. Nun kann man diesen Beweis nicht auf R[|t|] übertragen, denn es gibt ja keine Leitkoeffizienten und Reihen minimalen Grades im Allgemeinen auch nicht...Mhh
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Den ganzen Beweis will ich jetzt hier nicht reinfrickeln. Man betrachtet aber zu einem Ideal I aus [mm] R[[T]] \[/mm] die Ideale [mm]I_{n} \subset R[/mm] die von den Koeffizienten [mm] a_{n} [/mm] erzeugt werden; für Potenzreihen [mm] f\in I\cap T^{n}R[[T]] [/mm] mit [mm]f=a_{n}T^{n}+a_{n+1}T^{n+1}+...[/mm] und benutzt dass die Kette [mm]I_{0} \subset I_{1} \subset ...[/mm] stationär wird. Wählt man jetzt aus allen [mm] I_{i} [/mm] endlich viele Erzeuger, hat man endlich viele Erzeuger von I (Potenzreihen mit den ausgewählten ELementen aus den [mm] I_{i} [/mm] als führende Koeffizienten).
Der Beweis sollte aber in vielen Büchern zur kommutativen Algebra stehen.
> Zu 2): Mmh, da müsste man erstmal einen nicht noetherschen Ring finden, auf Anhieb fällt mir da nur der Polynomring in unendlich vielen Variablen ein, aber dessen Polynomring ist ja selbst wieder Polynomring in unendlich vielen Variablen also nicht noethersch...
>
Die Aussage ist auch falsch. Wenn R[X] noethersch ist, ist auch [mm]R\cong R/(X) [/mm] noethersch, denn Quotientenbildung erhält diese Eigenschaft.
> Zu 4): Ist I ein Ideal in [mm]R_{P}=(R\backslash P)*R[/mm] so ist es doch von der Form [mm]I=(R\backslash P) *J[/mm] für ein Ideal J in R, oder? J ist endlich erzeugt, die Erzeuger erzeugen auch I?
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Ja. Du benutzt aber hier eine komische Notation.
> Zu 5): Ist nicht {0} ein Primideal in [mm]\IC[t_{1},t_{2},...][/mm] und die Lokalisierung grade der Quotientenkörper, also insbesondere noethersch?
Ja. Das ist ein Gegenbeispiel.
Beste Grüße,
Berieux
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:02 Fr 04.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Nun kann man diesen Beweis nicht auf R[|t|] übertragen, denn
> > es gibt ja keine Leitkoeffizienten und Reihen minimalen Grades
> > im Allgemeinen auch nicht...Mhh
>
> Den ganzen Beweis will ich jetzt hier nicht reinfrickeln. Man betrachtet
> aber zu einem Ideal I aus [mm]R[[T]] \[/mm] die Ideale [mm]I_{n} \subset R[/mm]
> die von den Koeffizienten [mm]a_{n}[/mm] erzeugt werden; für Potenzreihen
> [mm]f\in I\cap T^{n}R[[T]][/mm] mit [mm]f=a_{n}T^{n}+a_{n+1}T^{n+1}+...[/mm]
um das noch etwas auszufuehren:
im Potenzreihenring [mm]R[[T]][/mm] hat man zwar nicht den hoechsten Potenzen einer Potenzreihe und somit auch keinen Grad direkt wie bei Polynomen (als hoechste auftretende Potenz), jedoch hat man etwas analoges: man hat eine Bewertung, die einem die niedrigste auftretende Potenz liefert, und zugehoerig dazu kann man anstelle des Leitkoeffizienten den Koeffizient der niedrigsten auftretenden Potenz nehmen.
Ist etwa $f = [mm] a_n T^n [/mm] + [mm] a_{n+1} T^{n+1} [/mm] + [mm] \dots$ [/mm] eine Potenzreihe mit [mm] $a_n \neq [/mm] 0$, so kann man [mm] $\nu(f) [/mm] = n$ und $LC(f) = [mm] a_n$ [/mm] definieren. Weiter setze [mm] $\nu(0) [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] Dann gilt:
Sind $f, g$ Potenzreihen [mm] $\neq [/mm] 0$, so ist $LC(f g) = LC(f) LC(g)$.
Weiter gilt fuer beliebige Potenzreihen $f, g$, dass [mm] $\nu(f [/mm] g) = [mm] \nu(f) [/mm] + [mm] \nu(g)$ [/mm] ist, und weiter ist [mm] $\nu(f [/mm] + g) [mm] \ge \min\{ \nu(f), \nu(g) \}$ [/mm] mit Gleichheit falls [mm] $\nu(f) \neq \nu(g)$.
[/mm]
Sieht also nicht sooo viel anders aus als der Grad und Leitkoeffizient, wie man das von Polynomen kennt. Und dementsprechend ist es dann auch wenig ueberraschend, dass man den Hilbertschen Basissatz auf Potenzreihen umbauen kann 
LG Felix
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