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noch 'ne Differentialgleichung: Lösung?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 Mo 18.04.2005
Autor: mat84

Hi!

Hab noch ein Problem mit ner DGL, diesmal gehts allerdings um die Lösung ;-)

[mm] \bruch{dP}{dt} = \bruch{1}{5}*P - \bruch{1}{5175}*P^2 [/mm]

Trennung der Variablen ergibt
[mm] \bruch{dP}{\bruch{1}{5}*P - \bruch{1}{5175}*P^2} = 1 dt [/mm]

Da mir die linke Seite etwas schwierig zu integrieren scheint, hab ichs mal versucht mit Partialbruchzerlegung zu vereinfachen (Rechenfehler nicht ausgeschlossen) und kriege:
[mm] \bruch{dP}{\bruch{1}{5}*P - \bruch{1}{5175}*P^2} = \bruch{1}{\bruch{1}{5}*P} + \bruch{\bruch{1}{207}}{1-\bruch{1}{1035}*P} = \bruch{5}{P} + \bruch{1}{207-\bruch{1}{5}*P} [/mm]

Wenn ich nun beide Seiten integriere, kriege ich
[mm] 5*ln(P) -5*ln\left(207-\bruch{1}{5}*P\right) + k_1 = t + k_2 [/mm]
[mm] 5*ln\left(\bruch{P}{207-\bruch{1}{5}*P}\right) = t + k_2 - k_1 [/mm]
[mm] ln\left(\bruch{P}{207-\bruch{1}{5}*P}\right)^5 = t + k_2 - k_1 [/mm]

Wenn ich hier weiterrechne, wird das Ergebnis für P ziemlich unschön... Frage, ist das denn trotzdem richtig, oder stecken (ein oder mehrere) Rechenfehler drin oder ist irgendwo schon ein ganz falscher Ansatz??

Würd mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte :-)

Danke schonmal
mat84

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
noch 'ne Differentialgleichung: richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 Mo 18.04.2005
Autor: leduart

Hallo
> Wenn ich nun beide Seiten integriere, kriege ich
>  [mm]5*ln(P) -5*ln\left(207-\bruch{1}{5}*P\right) + k_1 = t + k_2[/mm]
>  
> [mm]5*ln\left(\bruch{P}{207-\bruch{1}{5}*P}\right) = t + k_2 - k_1[/mm]

nächster Schritt  schlecht! durch 5 dividieren, dann ehoch etc ist nicht so schlimm für P. k1 undk2 zusammenfassen:k, [mm] e^{k}= [/mm] A und es wird ziemlich einfach.  
Ne!> [mm]ln\left(\bruch{P}{207-\bruch{1}{5}*P}\right)^5 = t + k_2 - k_1[/mm]

Die einzelnen Zahlen in der partialbruchzerlegung hab ich nicht nachgerechnet!
Gruss leduart
Bezug
                
Bezug
noch 'ne Differentialgleichung: danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:12 Di 19.04.2005
Autor: mat84

Danke für die Hilfe...

Hast recht, mit dem :5 wirds nicht so schlimm... aber ne einfachere Aufgabe hätte man uns auch stellen können (zumal das eine Wiederholungsaufgabe sein soll ;-) )

Gruß
mat84
Bezug
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