nirgends konv.komplexe reihen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ermitteln sie 2 Folgen [mm] {a_n}\subset\IC [/mm] derart, dass die Potenzreihen [mm] P(z)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n* z^n [/mm] mit [mm] z\in\IC [/mm] für kein [mm] z\not=0 [/mm] konvergieren!
(Potenzreihen, die nur für z=0 konvergieren, heißen nirgends konvergent.) |
So,ich soll also 2 Folgen {an} ermitteln, die diese kriterien erfüllen.
nun habe ich mir überlegt, dass potenzreihen ja dann divergent sind, wenn der Betrag von z größer ist als der Konvergenzradius und konvergent sind, wenn der betrag kleiner ist.
Damit die reihe nirgends konvergent ist, darf der betrag von z nur kleiner als der potenzradius sein, wenn z = (0,0) gilt. ansonsten muss der betrag von z immer größer sein als der potenzradius.
aber wie sieht denn dann meine erzeugende folge {an} aus? ich dachte ja, es müsste eine nullfolge sein, damit wirklich für alle anderen z, die nicht 0 sind, der betrag derer (der ja immer positiv ist) wirklich größer ist als der konvergenzradius. aber wäre {an} eine nullfolge, wäre der limes superior der n-ten wurzel aus em btrag von an nicht auch wieder 0? dann wäre doch aber der betrag von z gleich dem konvergenzradius und nicht kleiner.
inwieweit sind denn diese überlegungen richtig? und könnte mir jemand erklären, wie genau die erzeugende folge aufgebaut sein muss?
vielen dank im voraus, die_conny
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Di 01.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ermitteln sie 2 Folgen [mm]{a_n}\subset\IC[/mm] derart, dass die
> Potenzreihen [mm]P(z)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n* z^n[/mm] mit [mm]z\in\IC[/mm]
> für kein [mm]z\not=0[/mm] konvergieren!
> (Potenzreihen, die nur für z=0 konvergieren, heißen
> nirgends konvergent.)
> So,ich soll also 2 Folgen {an} ermitteln, die diese
> kriterien erfüllen.
> nun habe ich mir überlegt, dass potenzreihen ja dann
> divergent sind, wenn der Betrag von z größer ist als der
> Konvergenzradius und konvergent sind, wenn der betrag
> kleiner ist.
> Damit die reihe nirgends konvergent ist, darf der betrag
> von z nur kleiner als der potenzradius sein, wenn z = (0,0)
> gilt. ansonsten muss der betrag von z immer größer sein als
> der potenzradius.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Oder anders ausgedrückt: der Konvergenzradius ist 0.
> aber wie sieht denn dann meine erzeugende folge {an} aus?
> ich dachte ja, es müsste eine nullfolge sein, damit
> wirklich für alle anderen z, die nicht 0 sind, der betrag
> derer (der ja immer positiv ist) wirklich größer ist als
> der konvergenzradius. aber wäre {an} eine nullfolge, wäre
> der limes superior der n-ten wurzel aus em btrag von an
> nicht auch wieder 0?
Nicht unbedingt. Gegenbeispiel: die Nullfolge [mm]a_n=\bruch{1}{2^n}[/mm]. Die n-te Wurzel ist 1/2, und daher ist der Limes 1/2 und der Konvergenzradius 2.
> inwieweit sind denn diese überlegungen richtig? und könnte
> mir jemand erklären, wie genau die erzeugende folge
> aufgebaut sein muss?
Ich glaube, du bist auf dem richtigen Weg. Konvergenzradius 0 bedeutet, dass
[mm] \limsup \wurzel[n]{|a_n|} = \infty [/mm].
Versuch doch mal eine Folge mit dieser Eigenschaft zu konstruieren! Tipp: Überlege dir eine Folge [mm]b_n[/mm], deren Limes unendlich ist! Dann suchst du [mm]a_n[/mm] mit [mm]b_n=\wurzel[n]{|a_n|}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Di 01.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Hallo, ich sitze über der selben Aufgabe und habe mir jetzt dem Hinweis entsprechend folgendes überlegt:
[mm] b_{n}=n^{2}, [/mm] dann ist [mm] lim(b_{n})=lim(n^{2})=\infty
[/mm]
Dementsprechend müsste dann [mm] a_{n}=n^{2n} [/mm] sein, oder?
Hab ich das falsch verstanden?
Es ist doch aber eine komplexe Folge gesucht. Wie mache ich das dann?
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Di 01.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, ich sitze über der selben Aufgabe und habe mir jetzt
> dem Hinweis entsprechend folgendes überlegt:
>
> [mm]b_{n}=n^{2},[/mm] dann ist [mm]\lim(b_{n})=\lim(n^{2})=\infty[/mm]
>
> Dementsprechend müsste dann [mm]a_{n}=n^{2n}[/mm] sein, oder?
> Hab ich das falsch verstanden?
> Es ist doch aber eine komplexe Folge gesucht. Wie mache
> ich das dann?
Es gilt doch: [mm]a_n= n^{2n}\in\IC[/mm], denn jede reelle Zahl ist auch eine komplexe Zahl. Das ist schon in Ordnung.
Wenn du eine Folge nicht reeller komplexer Zahlne finden willst, dann bedenke, dass in der Formel für den Konvergenzradius [mm]|a_n|[/mm] steht. Du könntest zum Beispiel irgendeine komplexe Zahl [mm]z_1[/mm] mit [mm]|z_1|=1[/mm], aber [mm]z_1\notin\IR[/mm] nehmen und die Folge
[mm] a_n = z_1^n * n^{2n}[/mm]
nehmen. Da ist ja [mm]|a_n| = |z_1|^n * n^{2n} = n^{2n}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
