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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Sa 09.07.2011 | | Autor: | Junox |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Menge
[mm] X :=\left\{dim_C Kern(A); ... ; dim_C Kern(A^4)/ A \in M_{5;5}(C) nilpotent \right\} [/mm]
, die die nilpotenten Endomorphismen von [mm] C^5 [/mm] bis auf Ähnlichkeit klassifiziert. |
Hallo,
brauche bitte eure Hilfe bei der Aufgabe, da ich nicht genau durchsteige ;-(
Also gesucht sind Dimensionen, also Lösungen homogener GS der Potenzmatrizen von A.
Was weiß man nun über A?
A soll nilpotent sein, d.h. hat char. Polynom [mm] x^5 [/mm] und 0 als einzigen Eigenwert. Minimalpol. entsprechend 5 Möglichkeiten von [mm] x^5 [/mm] bis [mm] x^1. [/mm] Weiter?
Kann man einfach davon ausgehen, dass die nilpotenten zu A ähnlichen Matrizen obere Dreiecksmatrizen sind und dann irgendwie mit der Jordannormalform weitermachen?
LG,
Junox
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie die Menge
> [mm]X :=\left\{\red{(}dim_C Kern(A); ... ; dim_C Kern(A^4)\red{)}|A \in M_{5;5}(C) nilpotent \right\}[/mm]
>
>
> , die die nilpotenten Endomorphismen von [mm]C^5[/mm] bis auf
> Ähnlichkeit klassifiziert.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Also gesucht sind Dimensionen, also Lösungen homogener GS
> der Potenzmatrizen von A.
Kraus formuliert, aber Du hast recht damit, daß man die gesuchten Dimensionen die Dimensionen der Lösungsmengen gewisser homogener Gleichungssysteme sind.
> Was weiß man nun über A?
>
> A soll nilpotent sein, d.h. hat char. Polynom [mm]x^5[/mm] und 0 als
> einzigen Eigenwert. Minimalpol. entsprechend 5
> Möglichkeiten von [mm]x^5[/mm] bis [mm]x^1.[/mm]
Ja.
> Weiter?
>
> Kann man einfach davon ausgehen, dass die nilpotenten zu A
> ähnlichen Matrizen obere Dreiecksmatrizen sind und dann
> irgendwie mit der Jordannormalform weitermachen?
Genau, so kann man es machen.
Überlege Dir, welche JNFen es geben kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 So 10.07.2011 | | Autor: | Junox |
Danke angela,
die JNF sind:
1. 5x5 Nullmatrix, falls Minimalpol. x
2. falls Minimalpol. [mm] x^2
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} [/mm]
3. falls Minimalpolynom [mm] x^3
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} [/mm]
4. falls Minimalpolynom [mm] x^4
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} [/mm]
5. falls Minimalpol. [mm] x^5
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} [/mm]
Und nun? Einfach sämtliche Potenzen bilden und gucken, für welche Potenz die Nullmatrix entsteht? Wie sieht dann aber meine Lösungsmenge genau aus?
[mm]
zu 1.: dim(A)=dim(A^2)=...=dim(A^5)=0
zu 2.: dim(A)=1, dim(A^2)=dim(A^3)=...0
zu 3.: dim(A)=2, dim (A^2)=1, dim(A^3)=dim(A^4)=...0
zu 4.: dim(A)=3, dim(A^2)=2, dim(A^3)=1, dim(A^4)=...0
zu 5.: dim(A)=4, dim(A^2)=3, dim(A^3)=2, dim(A^4)=1, dim(A^5)=0
X={???} [/mm]
LG,
Junox
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 So 10.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke angela,
>
>
> die JNF sind:
>
> 1. 5x5 Nullmatrix, falls Minimalpol. x
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. falls Minimalpol. [mm]x^2[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
Hier hast du eine JNF vergessen.
> 3. falls Minimalpolynom [mm]x^3[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
Hier ebenfalls.
> 4. falls Minimalpolynom [mm]x^4[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
> 5. falls Minimalpol. [mm]x^5[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
> Und nun? Einfach sämtliche Potenzen bilden und gucken,
> für welche Potenz die Nullmatrix entsteht?
Nein, Potenzen bilden und gucken, was jeweils die Dimensionen des Kerns sind.
> Wie sieht dann
> aber meine Lösungsmenge genau aus?
> [mm]
zu 1.: dim(A)=dim(A^2)=...=dim(A^5)=0
zu 2.: dim(A)=1, dim(A^2)=dim(A^3)=...0
zu 3.: dim(A)=2, dim (A^2)=1, dim(A^3)=dim(A^4)=...0
zu 4.: dim(A)=3, dim(A^2)=2, dim(A^3)=1, dim(A^4)=...0
zu 5.: dim(A)=4, dim(A^2)=3, dim(A^3)=2, dim(A^4)=1, dim(A^5)=0[/mm]
> [mm]X={???}[/mm]
In $X$ stehen die Tupel [mm] $(\dim(A), \dim(A^2), \dots, \dim(A^4))$. [/mm] Einen Teil der Tupel hast du oben schon fast stehen. Was hindert dich daran sie in Tupelform mit in die Menge zu schreiben?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 So 10.07.2011 | | Autor: | Junox |
Vielen Dank felix!
Komme dann entsprechend der 7 möglichen JNF und der Bestimmung der Kernen der potenzierten Matrizen auf eine 7*4 elementige Menge:
[mm]X=
(0,0,0,0,
1,0,0,0,
1,0,0,0,
2,1,0,0,
3,1,0,0,
3,2,1,0,
4,3,2,1)[/mm].
Richtig?
GlG,
Junox
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 So 10.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Vielen Dank felix!
>
>
> Komme dann entsprechend der 7 möglichen JNF und der
> Bestimmung der Kernen der potenzierten Matrizen auf eine
> 7*4 elementige Menge:
Nein, denn in $X$ stehen Tupel und keine Zahlen. Du hast also 7 Elemente.
> [mm]X=
(0,0,0,0,
1,0,0,0,
1,0,0,0,
2,1,0,0,
3,1,0,0,
3,2,1,0,
4,3,2,1)[/mm].
Das ist 1. keine Menge (da keine Mengenklammern verwendet), sondern ein Tupel, und 2. wenn es Mengenklammern haette, waeren das weniger als $7 [mm] \cdot [/mm] 4$ Elemente.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 So 10.07.2011 | | Autor: | Junox |
Klar!
Vielen lieben Dank und ein schönes Rest-WE,
LG,
Junox
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:08 So 10.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Junox,
> Vielen lieben Dank und ein schönes Rest-WE,
danke gleichfalls :)
LG Felix
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