nilpotent < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Mi 13.07.2005 | | Autor: | juliayi |
Hallo,
ich habe eine Aufgabe. Der Begriff Nilpotenz ist ganz neu fuer mich. Ich habe keine Ahnung darueber.
Sei V ein n-dim. V.R. A:V-V nilpotent und V = W1 ...Wr direkte Summe eine Zerlegung von V in zyklische Teilraeume. Zeigen Sie, dass die Nullitaet von A gleich k und der Rang von A gleich n-k ist.
Dank schoen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Julia
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Hallo juliayi,
> Hallo,
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> ich habe eine Aufgabe. Der Begriff Nilpotenz ist ganz neu
> fuer mich. Ich habe keine Ahnung darueber.
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> Sei V ein n-dim. V.R. A:V-V nilpotent und V = W1 ...Wr
> direkte Summe eine Zerlegung von V in zyklische Teilraeume.
> Zeigen Sie, dass die Nullitaet von A gleich k und der Rang
> von A gleich n-k ist.
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> Dank schoen
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Julia
Die Aufgabe scheint mit nicht ganz korrekt gestellt zu sein. In der Angabe tauchen nur die Variablen n und r auf. Zu zeigen ist aber eine Aussage über n und k. Könnte die direkte Summe daher vieleicht [mm] W_1 \oplus [/mm] ... [mm] \oplus W_k [/mm] sein? Oder ist vielleicht zu zeigen Nullität von A gleich r und Rang von A gleich n-r?
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Mi 13.07.2005 | | Autor: | Chlors |
ja, r muss k sein
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Hallo Julia,
Die Sache läuft so:
Eines gleich vorweg: Wenn die Dimension des Nullraumes einer Matrix (=Nullität) gleich k ist, dann ist ihr Rang imer gleich n-k. Denn: Bringe die Matrix in Stufenform. Hier ergibt sich aus der Zahl der Nullzeilen unmittelbar der Rang der Matrix.
Sei f die durch die Matrix A definierte lineare Abbildung.
Induktion über k:
k=1: Dann ist [mm] V=W_1. [/mm] Also gibt es ein w [mm] \in [/mm] V so, dass (w,A [mm] \cdot [/mm] w, [mm] \ldots, A^{n-1} \cdot [/mm] w) eine Basis von V ist. Nun ist A nilpotent. Also muss A [mm] \cdot (A^{n-1} \cdot [/mm] w) = [mm] A^n \cdot [/mm] w = 0 sein. Das bedeutet der Nullraum von A hat mindestens die Dimension 1. Und das ist ja gerade die Nullität von A. Größer kann sie aber auch nicht sein, da wir bereits n-1 linear unabhängige Vektoren v kennen, für die A [mm] \cdot [/mm] v [mm] \not= [/mm] 0. Das sind gerade die ersten n-1 Basisvektoren.
Damit ist die Behauptung für den Fall k=1 bewiesen.
k>1: Sei die Behauptung für alle natürlichen Zahlen < k bewiesen. Seien [mm] w_1, \ldots, w_k \in [/mm] V so, dass [mm] (w_1, \ldots, A^{n_1-1} \cdot w_1, \ldots, w_k, \ldots, A^{n_k-1} \cdot w_k) [/mm] eine Basis von V ist. (Beachte: Es gilt [mm] n_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] n_k [/mm] = n) Sei B die Abblidungsmatrix von f bezüglich dieser Basis. Dann ist B eine Blockdiagonalmatrix, da ja für alle [mm] W_i [/mm] gilt, dass [mm] f(W_i) \subseteq W_i. [/mm] Seien [mm] B_1, \ldots, B_k [/mm] die Matrizen, aus denen B aufgebaut ist. Dann hat [mm] B_i [/mm] die Dimension [mm] n_i. [/mm] Jedes [mm] B_i [/mm] ist nilpotent, und wegen der Blockgestalt von B gilt: Nullität(B) = [mm] Nullität(B_1) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] Nullität(B_k) [/mm] = (IV) = 1 + [mm] \ldots [/mm] + 1 =k. Da A und B ähnliche Matrizen sind, gilt das dann auch für A selbst.
q.e.d.
Ich hoffe, dass damit alle Fragen beantwortet sind.
Liebe Grüße,
Holy Diver
P.S.: Bitte verzeih etwaige Tippfehler in den Formeln, der Server weigert sich momentan hartnäckig, mir eine Vorschau zu zeigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Do 14.07.2005 | | Autor: | Chlors |
Lösungsvorschlag:
dim V=Nullität(A)+Rang(A)
<=> dim V=n= [mm] \summe_{i=1}^{k} Nullität(A_{W_{i}}) [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{k} Rang(A_{W_{i}} [/mm] )
Betrachte nun: [mm] W_{i} [/mm] = <u, Au, ... , [mm] A^{ni -1}u [/mm] >, so dass [mm] A^{ni} [/mm] u=0 und [mm] A^{ni -1} [/mm] u [mm] \not= [/mm] 0 für u [mm] \in [/mm] V und [mm] \summe_{i=1}^{k} [/mm] ni =n
Wissen: [mm] A(A^{ni-1}) [/mm] u =0 => [mm] Nullität(A_{W_{i}} [/mm] ) [mm] \ge [/mm] 1
Sie ist jedoch gleich 1, da wir n-1 lin. unabh. Vektoren v [mm] \in [/mm] V kennen, so dass Av [mm] \not= [/mm] 0.
=> die Nullität von A eingeschränkt auf [mm] W_{i} [/mm] ist jeweils 1
=>
n= [mm] \summe_{i=1}^{k} Nullität(A_{W_{i}}) [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{k} Rang(A_{W_{i}} [/mm] )
<=> n=k+Rang(A)
=> Rang(A)=n-k und Nullität(A)=k
Ist diese Lösung auch möglich??
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
