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nichttriviale Darstellung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 Do 11.02.2010
Autor: aga88

Aufgabe
Man gebe für t [mm] \not\in [/mm] M eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors als Linearkombination von v1, v2, v3 an.

v1= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , v2= [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 2 }, [/mm] v3= [mm] \vektor{t \\ 2 \\ 2 } [/mm]

Hallo. Habe ein Verständnisproblem!

Damit t nicht Element von M ist, muss t=1 sein. Nachdem man das ja in nem LGS berechnet A+x=0

kriege ich als Ergebnis:

[mm] \pmat{ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }. [/mm]

Dann soll nach einem Lösungsvorschlag die Lösungsmenge folgendermaßen aussehen:

[mm] \vektor{ 2 a \\ - a \\ a } [/mm] a Element von IR.

Nun meine Frage: Wie kommt man von dem LGS bis zu der Lösungsmenge?

Danke im Voraus.

        
Bezug
nichttriviale Darstellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 Do 11.02.2010
Autor: abakus


> Man gebe für t [mm]\not\in[/mm] M eine nichttriviale Darstellung
> des Nullvektors als Linearkombination von v1, v2, v3 an.
>  
> v1= [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] , v2= [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ 2 },[/mm] v3=
> [mm]\vektor{t \\ 2 \\ 2 }[/mm]
>  Hallo. Habe ein
> Verständnisproblem!
>  
> Damit t nicht Element von M ist, muss t=1 sein. Nachdem man

Was ist denn M??

Du suchst also 3 reelle Zahlen p, q und r, für die gilt
1p+3q+tr=0
1p+4q+2r=0
0p+2q+2r=0

Aus der letzten Gleichung folgt r=-q, somit wird die vorletzte Gleichung zu
p+4q-2q=0, also p=-2q.  Die drei Koeffizienten sind somit -2q, q und -q (und wenn du -q=a setzt, erhältst du die Musterlösung.
Dafür haben wir die erste Gleichung noch nicht einmal gebraucht, du kannst sie nur mal auf Verträglichkeit prüfen.
Gruß Abakus

> das ja in nem LGS berechnet A+x=0
>
> kriege ich als Ergebnis:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }.[/mm]
>  
> Dann soll nach einem Lösungsvorschlag die Lösungsmenge
> folgendermaßen aussehen:
>  
> [mm]\vektor{ 2 a \\ - a \\ a }[/mm] a Element von IR.
>  
> Nun meine Frage: Wie kommt man von dem LGS bis zu der
> Lösungsmenge?
>  
> Danke im Voraus.


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