nichtabelsche Gruppe mit 57 El < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:33 So 08.02.2009 | | Autor: | algieba |
| Aufgabe | | Gibt es eine nicht-abelsche Gruppe mit 57 Elementen? |
Unser Ansatz:
57 = 3*19
Es gibt eine 19-Sylow (folgt aus Sylowsätzen)
Es gibt eine oder 19 3-Sylowgruppen.
Welche muss man jetzt nehmen? wenn es eine gibt ist unsere Gruppe mit 57 Elementen abelsch (Mächtigkeitsargument [mm] $\Rightarrow$ [/mm] zyklisch). Wenn es 19 gibt ist sie nicht zyklisch, also auch nicht abelsch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:30 Mo 09.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Gibt es eine nicht-abelsche Gruppe mit 57 Elementen?
> Unser Ansatz:
> 57 = 3*19
>
> Es gibt eine 19-Sylow (folgt aus Sylowsätzen)
> Es gibt eine oder 19 3-Sylowgruppen.
> Welche muss man jetzt nehmen? wenn es eine gibt ist unsere
> Gruppe mit 57 Elementen abelsch (Mächtigkeitsargument
> [mm]\Rightarrow[/mm] zyklisch). Wenn es 19 gibt ist sie nicht
> zyklisch, also auch nicht abelsch.
Ja. Allerdings habt ihr noch nicht gezeigt ob das ueberhaupt moeglich ist.
Eventuell koennt ihr versuchen, eine solche Gruppe zu konstruieren. Eine solche Gruppe muss das semidirekte Produkt aus [mm] $\IZ_3$ [/mm] und [mm] $\IZ_{19}$ [/mm] sein und zwar so, dass [mm] $\IZ_{19}$ [/mm] nachher Normalteiler ist. Wisst ihr wie man sowas macht? Bzw hattet ihr das semidirekte Produkt ueberhaupt?
Ansonsten ist es vielleicht hilfreich zu wissen, dass die Gruppe die disjunkte Vereinigung aus Neutralelement, den $2 [mm] \cdot [/mm] 19$ Elementen von Ordnung 3 und den 18 Elementen von Ordnung 19 ist.
Vielleicht hilft auch das hier:
Sei [mm] $\sigma$ [/mm] ein Element der Ordnung 19 und [mm] $\tau$ [/mm] ein Element der Ordnung 3. Dann gilt [mm] $\sigma \tau [/mm] = [mm] \tau \sigma^t$ [/mm] fuer $t [mm] \in \{ 1, \dots, 18 \}$ [/mm] (beachte dass [mm] $\tau [/mm] N = N [mm] \tau$ [/mm] ist wenn $N$ die von [mm] $\sigma$ [/mm] erzeugte Untergruppe ist, da diese ein Normalteiler ist). Zeige damit, dass die Gruppe gleich [mm] $\{ \sigma^i \tau^j \mid 0 \le i < 19, 0 \le j < 3 \}$ [/mm] ist, und beschreibe die Multiplikation von zwei solchen Elementen mit der Beziehung von oben. (Falls ihr schonmal mit [mm] $D_n$ [/mm] was aehnliches gemacht habt: das geht hier wohl auch so.)
Damit kommt ihr vielleicht weiter...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 10.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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