nicht stetig in 0 (Richtungsab < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Do 21.06.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Zeige, dass die Funktion f : [mm] R^2 \to [/mm] R mit f(0, 0) = 0 und
f(x, y) [mm] =\bruch{xy^2}{x^2 + y^4}
[/mm]
für (x, y) [mm] \not= [/mm] (0, 0)
im Nullpunkt unstetig ist, aber dort Ableitungen in jeder Richtung hat. Skizziere den Graphen
von f in [mm] R^3 [/mm] mit einem Plotprogramm. |
Hallo,
Das mit der unstetigkeit müsste ich irgendwie hinhriegen
Ich nehme einfach an, es ist stetig, betrachte einen Grenzwert gegen 0 und stelle dann fest, dass es unstetig ist.
Aber wie soll man zeigen, dass " dort Ableitungen in jeder Richtung " existieren.
im eindimensionalen Fall würd ich doch sagen "nicht stetig => nicht diffbar".
Mfg
CPH
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> Zeige, dass die Funktion f : [mm]R^2 \to[/mm] R mit f(0, 0) = 0 und
> f(x, y) [mm]=\bruch{xy^2}{x^2 + y^4}[/mm]
> für (x, y) [mm]\not=[/mm] (0, 0)
> im Nullpunkt unstetig ist, aber dort Ableitungen in jeder
> Richtung hat. Skizziere den Graphen
> von f in [mm]R^3[/mm] mit einem Plotprogramm.
> Hallo,
> Das mit der unstetigkeit müsste ich irgendwie hinhriegen
>
> Ich nehme einfach an, es ist stetig, betrachte einen
> Grenzwert gegen 0 und stelle dann fest, dass es unstetig
> ist.
Z.B. ist [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}f\big(\frac{1}{n^2},\frac{1}{n}\big) = \frac{1}{2}\neq 0[/mm].
> Aber wie soll man zeigen, dass " dort Ableitungen in jeder
> Richtung " existieren.
Betrachte [mm]x=r\cos(\varphi), y=r\cos(\varphi)[/mm] und lasse, bei festem [mm]\varphi[/mm], d.h. bei festgehaltener Richtung, [mm]r\rightarrow 0[/mm] gehen.
> im eindimensionalen Fall würd ich doch sagen "nicht stetig
> => nicht diffbar".
Das stimmt hier auch: behauptet wird ja nur, dass die Richtungsableitungen existieren. Wenn man die Funktion auf eine bestimmte Richtung einschränkt, dann ist sie ebenfalls stetig. Betrachtet man
[mm]f(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))=\frac{r^3\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)}{r^2\cos^2(\varphi)+r^4\sin^4\varphi)}[/mm]
gibt es zwei Möglichkeiten: entweder ist [mm]\cos(\varphi)= 0[/mm], dann ist [mm]f(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi)) = 0[/mm], für alle [mm]r[/mm], oder es ist [mm]\cos(\varphi)\neq 0[/mm], dann haben wir
[mm]\lim_{r\rightarrow 0}\frac{r^3\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)}{r^2\cos^2(\varphi)+r^2\sin^2(\varphi)} = \lim_{r\rightarrow 0}\frac{r\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)}{\cos^2(\varphi)+r^2\sin^4(\varphi)} = 0[/mm]
Die Folge [mm](x_n,y_n) := \big(\frac{1}{n^2},\frac{1}{n}\big)[/mm], mit der die Stetigkeit im Ursprung wiederlegt werden kann, kommt eben nicht aus konstanter Richtung gegen [mm](0,0)[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Di 03.07.2007 | | Autor: | CPH |
Hallo, vielen Dank, wenn auch recht spät, bin erst jetzt dazu gekommen mich wieder mit der Aufgabe zu beschäftigen.
MfG
CPH
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