nicht äquivalente Normen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich habe gegeben einen Raum
[mm] X(\IR,V)=\{f: \IR\rightarrow V: f \text{ ist beschränkt}\}
[/mm]
wobei [mm] (V,||\cdot||) [/mm] ein normierter Vektorraum ist. Auf diesem Vektorraum X habe ich eine Norm gegeben
[mm] ||f||_{\lambda,\infty}=\sup_{x\in\IR}(\lambda(x)||f(x)||)
[/mm]
wobei [mm] \lambda: \IR\rightarrow \IR [/mm] eine positive beschränkte Funktion ist.
Nun soll ich [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] so angeben, dass folgende Normen auf X nicht nur nicht äquivalent sind (das habe ich hinbekommen*), sondern ich soll [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] so angeben, so dass ich weder ein c>0, noch ein k>0 so finden, dass
[mm] c||f||_{\lambda_1,\infty}\leq||f||_{\lambda_2,\infty} [/mm] und [mm] k||f||_{\lambda_2,\infty}\leq||f||_{\lambda_1,\infty}
[/mm]
für alle [mm] f\in [/mm] X finde. |
Eine Lösung habe ich, allerdings beruht die auf Funktionenfolgen. Und die darf ich an dieser Stelle leider nicht benutzen. Und damit fehlt mir völlig die Idee.
Kann mir irgendjemand bitte weiterhelfen?
*dass die beiden Normen nicht äquivalent sind gelingt mit [mm] \lambda_1(x)=\frac{1}{1+x^2} [/mm] und [mm] \lambda_2(x)=1.
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Mo 10.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe gegeben einen Raum
> [mm]X(\IR,V)=\{f: \IR\rightarrow V: f \text{ ist beschränkt}\}[/mm]
>
> wobei [mm](V,||\cdot||)[/mm] ein normierter Vektorraum ist. Auf
> diesem Vektorraum X habe ich eine Norm gegeben
> [mm]||f||_{\lambda,\infty}=\sup_{x\in\IR}(\lambda(x)||f(x)||)[/mm]
> wobei [mm]\lambda: \IR\rightarrow \IR[/mm] eine positive
> beschränkte Funktion ist.
>
> Nun soll ich [mm]\lambda_1[/mm] und [mm]\lambda_2[/mm] so angeben, dass
> folgende Normen auf X nicht nur nicht äquivalent sind (das
> habe ich hinbekommen*), sondern ich soll [mm]\lambda_1[/mm] und
> [mm]\lambda_2[/mm] so angeben, so dass ich weder ein c>0, noch ein
> k>0 so finden, dass
> [mm]c||f||_{\lambda_1,\infty}\leq||f||_{\lambda_2,\infty}[/mm] und
> [mm]k||f||_{\lambda_2,\infty}\leq||f||_{\lambda_1,\infty}[/mm]
> für alle [mm]f\in[/mm] X finde.
> Eine Lösung habe ich, allerdings beruht die auf
> Funktionenfolgen. Und die darf ich an dieser Stelle leider
> nicht benutzen. Und damit fehlt mir völlig die Idee.
> Kann mir irgendjemand bitte weiterhelfen?
>
>
>
> *dass die beiden Normen nicht äquivalent sind gelingt mit
> [mm]\lambda_1(x)=\frac{1}{1+x^2}[/mm] und [mm]\lambda_2(x)=1.[/mm]
Das ist schonmal ein gutes Beispiel. Wenn du dir die Existenz von $c$ bzw. $k$ anschaust, siehst du dass es hoechstens eins von beiden gibt. Weisst du welches und warum?
Ein Tipp fuer die Wahl von [mm] $\lambda_i$: [/mm] schau dir doch [mm] $\lambda_1 [/mm] : [mm] \IR \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto \begin{cases} 1 & x \le 0, \\ 1 & x \ge 1, \\ x & 0 < x < 1 \end{cases}$ [/mm] an und [mm] $\lambda_2$ [/mm] "so aehnlich".
LG Felix
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> > *dass die beiden Normen nicht äquivalent sind gelingt mit
> > [mm]\lambda_1(x)=\frac{1}{1+x^2}[/mm] und [mm]\lambda_2(x)=1.[/mm]
>
> Das ist schonmal ein gutes Beispiel. Wenn du dir die
> Existenz von [mm]c[/mm] bzw. [mm]k[/mm] anschaust, siehst du dass es
> hoechstens eins von beiden gibt. Weisst du welches und
> warum?
>
Ich habe rausgefunden, dass es nur ein k geben kann, dass folgendes gilt:
[mm] ||f||_{\lambda,\infty}\leq k\cdot||f||_{\infty}
[/mm]
Für das andere kann ich mir nämlich eine Funktion konstruieren, sodass ich einen Widerspruch bekomme.
> Ein Tipp fuer die Wahl von [mm]\lambda_i[/mm]: schau dir doch
> [mm]\lambda_1 : \IR \to \IR[/mm], [mm]x \mapsto \begin{cases} 1 & x \le 0, \\ 1 & x \ge 1, \\ x & 0 < x < 1 \end{cases}[/mm]
> an und [mm]\lambda_2[/mm] "so aehnlich".
Danke!!! Wahrscheinlich ist dann [mm] \lambda_2:
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] : [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \begin{cases} 1 & x \ge 0, \\ 1 & x \le -1, \\ x & -1 < x < 0 \end{cases}
[/mm]
Anschaulich ist mir das eigentlich klar. Ich finde nun deshalb kein so ein c und k, da diese Lambdas beliebig klein werden. Aber ich finde verflixt noch mal einfach kein Gegenbeispiel, also eine Funktion, sodass ich einen Widerspruch bekomme.
Was ich immerhin rausbekommen habe ist, dass gelten muss:
[mm] c\ge1 [/mm] und [mm] k\ge1
[/mm]
Aber da sehe ich auch keinen Widerspruch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Mi 12.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > *dass die beiden Normen nicht äquivalent sind gelingt mit
> > > [mm]\lambda_1(x)=\frac{1}{1+x^2}[/mm] und [mm]\lambda_2(x)=1.[/mm]
> >
> > Das ist schonmal ein gutes Beispiel. Wenn du dir die
> > Existenz von [mm]c[/mm] bzw. [mm]k[/mm] anschaust, siehst du dass es
> > hoechstens eins von beiden gibt. Weisst du welches und
> > warum?
> >
>
> Ich habe rausgefunden, dass es nur ein k geben kann, dass
> folgendes gilt:
> [mm]||f||_{\lambda,\infty}\leq k\cdot||f||_{\infty}[/mm]
> Für das
> andere kann ich mir nämlich eine Funktion konstruieren,
> sodass ich einen Widerspruch bekomme.
>
> > Ein Tipp fuer die Wahl von [mm]\lambda_i[/mm]: schau dir doch
> > [mm]\lambda_1 : \IR \to \IR[/mm], [mm]x \mapsto \begin{cases} 1 & x \le 0, \\ 1 & x \ge 1, \\ x & 0 < x < 1 \end{cases}[/mm]
> > an und [mm]\lambda_2[/mm] "so aehnlich".
>
> Danke!!! Wahrscheinlich ist dann [mm]\lambda_2:[/mm]
> [mm]\lambda_1[/mm] : [mm]\IR \to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto \begin{cases} 1 & x \ge 0, \\ 1 & x \le -1, \\ x & -1 < x < 0 \end{cases}[/mm]
Naja, es sollte [mm] $\lambda_2$ [/mm] heissen und auf $(-1, 0)$ den Wert $-x$ annehmen und nicht $x$  Aber das meinst du vermutlich auch so.
> Anschaulich ist mir das eigentlich klar. Ich finde nun
> deshalb kein so ein c und k, da diese Lambdas beliebig
> klein werden. Aber ich finde verflixt noch mal einfach kein
> Gegenbeispiel, also eine Funktion, sodass ich einen
> Widerspruch bekomme.
Ich wuerde einmal eine Funktion anschauen, die ueberall 0 ist, nur bei $1 - [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] den Wert 1 annimmt. Und dann eine Funktion, die ueberall 0 ist und nur bei $-1 + [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] den Wert 1 annimmt.
Daraus sollte folgen, dass $c$ und $k$ beliebig gross werden.
(So eine aehnliche Funktion hast du vermutlich auch schon beim ersten Aufgabenteil benutzt.)
Wenn du nicht weiterkommst, rechne doch mal vor was du bisher gemacht hast.
LG Felix
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> Naja, es sollte [mm][mm] \lambda_2heissen [/mm] und auf [mm](-1, 0)[/mm] den Wert
> [mm]-x[/mm] annehmen und nicht [mm]x[/mm] Aber das meinst du vermutlich
> auch so.
>
Danke, das meinte ich tatsächlich so. Das kommt vom hirnlosen copy & past ;)
> Ich wuerde einmal eine Funktion anschauen, die ueberall 0
> ist, nur bei [mm]1 - \frac{1}{n}[/mm] den Wert 1 annimmt. Und dann
> eine Funktion, die ueberall 0 ist und nur bei [mm]-1 + \frac{1}{n}[/mm]
> den Wert 1 annimmt.
>
> Daraus sollte folgen, dass [mm]c[/mm] und [mm]k[/mm] beliebig gross werden.
>
> (So eine aehnliche Funktion hast du vermutlich auch schon
> beim ersten Aufgabenteil benutzt.)
>
> Wenn du nicht weiterkommst, rechne doch mal vor was du
> bisher gemacht hast.
So eine ähnliche Funktionenfolge kann ich in der Tat auch bei meinem ersten Aufgabenteil verwenden. Allerdings ist das Problem, dass das eben eine Funktionenfolge ist (und dein Beispiel auch) und ich würde eigentlich nur äußerst ungern eine Funktionenfolge verwenden.
Hast du vielleicht noch eine Idee, wie ich ohne Funktionenfolge ein Gegenbeispiel finde?
Bei meinem oberen Aufgabenteil hatte deshalb ich als Gegenbsp-Funktion:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1 & \mbox{für } x \in (-\frac{1}{\sqrt{c}},\frac{1}{\sqrt{c}}) \\ 0 & \mbox{sonst }\end{cases}
[/mm]
Dann bekomme ich den Widerspruch, dass wenn ein c existiert, sodass [mm] c||x||_{\infty}\leq||x||_{\lambda,\infty} [/mm] gilt (wobei [mm] c\leq1), [/mm] dass dann folgt [mm] ||x||_{\lambda,\infty}\leq||x||_{\infty}
[/mm]
Soetwas hätte ich hier auch gerne. Aber ich komme partout nicht drauf.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:21 Mo 17.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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