nicht Riemann integrierbar < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Sa 17.01.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei I ein beschränktes Intervall mit mehr als einem Punkt. Zeigen Sie, dass die Existenz einer Stammfunktion nicht hinreichend für die Riemannintegrierbarkeit einer Funktion [mm] f: I \to \IR [/mm] ist, indem Sie Folgendes beweisen:
Die Funktion [mm] F:[-1,1] \to \IR, x \to F(x):= \begin{cases} x^2sin\bruch{1}{x^2}, & \mbox{falls } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{falls } x=0 \end{cases} [/mm]
ist differenzierbar, und ihre Ableitung ist nicht Riemann-integrierbar. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich habe mir Folgendes gedacht:
Da F(0)=0 ist, ist die Stammfunktion stetig und damit differenzierbar.
F für x ungleich 0 ergibt dann
[mm] F'(x)=f(x)=2x \cdot sin\bruch{1}{x^2}-\bruch{2\cdot cos\bruch{1}{x^2}}{x} [/mm].
Jetzt denke ich , dass f(0) gegen Unendlich geht, und deshalb nicht Riemann-integrierbar ist.
Bei der Emittlung des Limes habe ich aber Probleme. Wenn ich zb. für x = 1/100 einsetze, erhalte ich [mm] f(1/100)=1/50 \cdot sin10000 - 100(2 \cdot cos10000) [/mm]
Ist es jetzt so, da 2x gegen 0 geht für 0<x<1, geht der 1. Summand gegen 0.
Und die 1/100 im Nenner des 2. Summanden machen den 2. Teil unendlich gross.
Stimmen meine Überlegungen ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Sa 17.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susanne!
> Sei I ein beschränktes Intervall mit mehr als einem Punkt.
> Zeigen Sie, dass die Existenz einer Stammfunktion nicht
> hinreichend für die Riemannintegrierbarkeit einer Funktion
> [mm]f: I \to \IR[/mm] ist, indem Sie Folgendes beweisen:
> Die Funktion [mm]F:[-1,1] \to \IR, x \to F(x):= \begin{cases} x^2sin\bruch{1}{x^2}, & \mbox{falls } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{falls } x=0 \end{cases}[/mm]
>
> ist differenzierbar, und ihre Ableitung ist nicht
> Riemann-integrierbar.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> ich habe mir Folgendes gedacht:
> Da F(0)=0 ist, ist die Stammfunktion stetig und damit differenzierbar.
Ganz so einfach ist nicht: du musst zeigen, dass der Limes des Differenzenquotienten existiert:
[mm] \lim_{x\to 0} \bruch{F(x)-F(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0} \bruch{F(x)}{x} [/mm]
Dessen Wert ist damit der Wert der Ableitung an der Stelle x=0.
> F für x ungleich 0 ergibt dann
> [mm]F'(x)=f(x)=2x \cdot sin\bruch{1}{x^2}-\bruch{2\cdot cos\bruch{1}{x^2}}{x} [/mm].
>
> Jetzt denke ich , dass f(0) gegen Unendlich geht, und
> deshalb nicht Riemann-integrierbar ist.
> Bei der Emittlung des Limes habe ich aber Probleme. Wenn
> ich zb. für x = 1/100 einsetze, erhalte ich [mm]f(1/100)=1/50 \cdot sin10000 - 100(2 \cdot cos10000)[/mm]
>
> Ist es jetzt so, da 2x gegen 0 geht für 0<x<1, geht der 1.
> Summand gegen 0.
> Und die 1/100 im Nenner des 2. Summanden machen den 2.
> Teil unendlich gross.
Nicht ganz: der zweite Summand oszilliert zwischen den Kurven [mm] $-\bruch{2}{x}$ [/mm] und [mm] $+\bruch{2}{x}$. [/mm] Hier ist ein Plot von $F'(x)$ zwischen 0,1 und 0,5:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße
Rainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 So 18.01.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Rainer,
vielen vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !!
Leider wurde ich gestern unterbrochen, deshalb reagiere ich erst jetzt.
> > Da F(0)=0 ist, ist die Stammfunktion stetig und damit
> differenzierbar.
>
> Ganz so einfach ist nicht: du musst zeigen, dass der Limes
> des Differenzenquotienten existiert:
>
> [mm]\lim_{x\to 0} \bruch{F(x)-F(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0} \bruch{F(x)}{x}[/mm]
>
> Dessen Wert ist damit der Wert der Ableitung an der Stelle
> x=0.
Und muss der Wert 0 sein, damit die Stammfunktion ableitbar ist - stimmt das ?
>
> > F für x ungleich 0 ergibt dann
> > [mm]F'(x)=f(x)=2x \cdot sin\bruch{1}{x^2}-\bruch{2\cdot cos\bruch{1}{x^2}}{x} [/mm].
>
> >
> > Jetzt denke ich , dass f(0) gegen Unendlich geht, und
> > deshalb nicht Riemann-integrierbar ist.
> > Bei der Emittlung des Limes habe ich aber Probleme.
> Wenn
> > ich zb. für x = 1/100 einsetze, erhalte ich [mm]f(1/100)=1/50 \cdot sin10000 - 100(2 \cdot cos10000)[/mm]
>
> >
> > Ist es jetzt so, da 2x gegen 0 geht für 0<x<1, geht der 1.
> > Summand gegen 0.
> > Und die 1/100 im Nenner des 2. Summanden machen den 2.
> > Teil unendlich gross.
>
> Nicht ganz: der zweite Summand oszilliert zwischen den
> Kurven [mm]-\bruch{2}{x}[/mm] und [mm]+\bruch{2}{x}[/mm].
Wie kommst Du auf [mm]-\bruch{2}{x}[/mm] und [mm]+\bruch{2}{x}[/mm] ?
Vielen Dank für den Plot, so etwas Anschauliches ist für mich immer sehr hilfreich !
VIELEN DANK !! Susanne.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 So 18.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susanne!
> Hallo Rainer,
> vielen vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !!
> Leider wurde ich gestern unterbrochen, deshalb reagiere
> ich erst jetzt.
>
> > > Da F(0)=0 ist, ist die Stammfunktion stetig und damit
> > differenzierbar.
> >
> > Ganz so einfach ist nicht: du musst zeigen, dass der Limes
> > des Differenzenquotienten existiert:
> >
> > [mm]\lim_{x\to 0} \bruch{F(x)-F(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0} \bruch{F(x)}{x}[/mm]
>
> >
> > Dessen Wert ist damit der Wert der Ableitung an der Stelle x=0.
> Und muss der Wert 0 sein, damit die Stammfunktion
> ableitbar ist - stimmt das ?
Nein, der Grenzwert muss existieren. Er ist 0, da hast du recht. Die Ableitung ist aber in 0 nicht stetig, denn der Grenzwert von
[mm] \lim_{x\to 0} f'(x) [/mm]
existiert nicht. (Wenn die Ableitung stetig wäre, wäre sie auch Riemann-integrierbar.)
> >
> > > F für x ungleich 0 ergibt dann
> > > [mm]F'(x)=f(x)=2x \cdot sin\bruch{1}{x^2}-\bruch{2\cdot cos\bruch{1}{x^2}}{x} [/mm].
>
> >
> > >
> > > Jetzt denke ich , dass f(0) gegen Unendlich geht, und
> > > deshalb nicht Riemann-integrierbar ist.
> > > Bei der Emittlung des Limes habe ich aber Probleme.
> > Wenn
> > > ich zb. für x = 1/100 einsetze, erhalte ich [mm]f(1/100)=1/50 \cdot sin10000 - 100(2 \cdot cos10000)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ist es jetzt so, da 2x gegen 0 geht für 0<x<1, geht der 1.
> > > Summand gegen [mm] 0.\bruch{2\cdot cos\bruch{1}{x^2}}{x}
[/mm]
> > > Und die 1/100 im Nenner des 2. Summanden machen den
> 2.
> > > Teil unendlich gross.
> >
> > Nicht ganz: der zweite Summand oszilliert zwischen den
> > Kurven [mm]-\bruch{2}{x}[/mm] und [mm]+\bruch{2}{x}[/mm].
>
> Wie kommst Du auf [mm]-\bruch{2}{x}[/mm] und [mm]+\bruch{2}{x}[/mm] ?
Da der Cosinus Werte zwischen -1 und +1 hat, liegt
[mm] \bruch{2\cdot cos\bruch{1}{x^2}}{x} [/mm] zwischen [mm]\pm\bruch{2}{x^2}}{x} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 So 18.01.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Rainer,
ok, jetzt habe ich es verstanden.
VIELEN VIELEN DANK für Deine Hilfe !!
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