nicht Lebesgue-integrierbar < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeige, dass die Funktion
[mm] $$f:[0,\pi]\times (0,1]\to\IR, \; \; f(x,y)=\frac{\cos(x)}{y}$$
[/mm]
nicht Lebesgue-integrierbar ist. |
Hallo,
z.z. ist also [mm] $\limes_{a\rightarrow 0} \int_a^1 \int_0^{\pi} \frac{\cos(x)}{y} \; d\mu(x) \; d\mu(y) [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
Das kann ich ja getrennt integrieren
$ [mm] \int_0^{\pi} \cos(x) \; d\mu(x) [/mm] = sin(x) [mm] |_{0}^{\pi} [/mm] = 0$
$ [mm] \int_a^1 \frac{1}{y} \; d\mu(y) [/mm] = ln(y) [mm] |_a^1= [/mm] 0 - ln(a) [mm] \to \infty, a\to [/mm] 0$
Damit komme ich dann insgesamt auf den unbestimmten Ausdruck [mm] 0\cdot\infty
[/mm]
Wie zeige ich aber jetzt, dass $f$ wirklich nicht L-integrierbar ist?
Gruß Patrick
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Di 31.03.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
reicht es denn hier nicht, einfach zu sagen, dass [mm] \bruch{1}{y} [/mm] nicht L-integrierbar ist, da hier auf (0,1] in der Nähe von 0 beliebig große Werte angenommen werden.
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 Di 31.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
das reicht nicht aus, wie folgendes Beispiel zeigt:
$f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}$
$\int_0^1 f(x)\,dx$
$f(x)$ divergiert auch bei der Annäherung an die $0$, aber das Integral ergibt dir 1, da $F(x)=\sqrt{x}$, $F'(x)=f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, und $F(1)-F(0)=1$, also ex. das sog. uneigentliche Integral.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Di 31.03.2009 | | Autor: | vivo |
Hi,
das stimmt zwar schon, dein beispiel ist aber nicht Lebesgue-integrierbar und darum geht es hier ja!
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Di 31.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das Objekt ist doch sicher Riemann-Integrierbar, sogar absolut. Es gibt doch einen Satz der aussagt:
Ist die auf einem Intervall I def. Funktion absolut Riemann-Integrierbar, dann ist f auch Lebsque-Integrierbar, und die beiden Werte sind gleich.
Mein Intervall wäre $I=[0,1]$ und da in dem Bereich [mm] $|1/\sqrt{x}|=1/\sqrt{x}$ [/mm] gilt, ists auch absolut Riemann-Integrierbar, und damit auch Lebesque Integrierbar.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Di 31.03.2009 | | Autor: | vivo |
> Hi,
>
> das Objekt ist doch sicher Riemann-Integrierbar, sogar
> absolut. Es gibt doch einen Satz der aussagt:
>
Ist die auf einem Intervall I def. Funktion absolut uneigentlich
> Riemann-Integrierbar, dann ist f auch Lebsque-Integrierbar,
> und die beiden Werte sind gleich.
>
> Mein Intervall wäre [mm]I=[0,1][/mm] und da in dem Bereich
> [mm]|1/\sqrt{x}|=1/\sqrt{x}[/mm] gilt, ists auch absolut
> Riemann-Integrierbar, und damit auch Lebesque
> Integrierbar.
Stimmt!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Di 31.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich bin mir ziemlich sicher, dass [mm] $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ [/mm] im Intervall $(0,1)$ Lebesque-Integrierbar ist, also dass [mm] $\int_0^1 \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx$ [/mm] im Lebesque-Sinne auch existiert. Das war eigentlich immer das Standard-Beispiel, dass $f$ Lebesque-Intbar ist, [mm] $f^2$ [/mm] aber nicht.
![[]](/images/popup.gif) Hier Beitrag 6 und 7 geben mir auch recht...
Von daher sollte ich doch den oben genannten Satz anwenden können, und die Fkt [mm] $f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ [/mm] sollte im o.g. Intervall integrierbar sein mit Wert 1?!
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Di 31.03.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
du hast natürlich recht mit:
Ist eine Funktion uneigentlich absolut R-i, so ist sie auch L-i.! Also ist das Beispiel von Dir L-i.
Sorry!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 31.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
schön, dass wir uns einig sind =)
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Di 31.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
es gibt doch einen Satz, der aussagt, dass wenn [mm] $f(x)\le [/mm] g(x)$, dass das selbe dann auch für die Integrale gibt.
Ich würde hier versuchen, mir eine Funktion herzunehmen, die kleiner/größer als dein f ist, die auch schon divergiert.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Di 31.03.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
also meiner Meinung nach ist folgendes ausreichend:
[mm]g:= \bruch{1}{y}[/mm] ist auf (0,1] nicht Lebesgue-integrierbar, da der Wertebereich nicht gestückelt werden kann (den g nimmt in der Nähe der Null ja beliebig große Werte an).
Dann kann doch auch die ganze Funtion nicht Lebesgue-i. sein, oder seh ich da was falsch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:03 Di 31.03.2009 | | Autor: | XPatrickX |
> Hi,
>
> es gibt doch einen Satz, der aussagt, dass wenn [mm]f(x)\le g(x)[/mm],
> dass das selbe dann auch für die Integrale gibt.
Die Idee ist vielleicht gar nicht so schlecht. Allerdings habe ich ja eigentlich eine Funktion die von zwei Variablen abhängt. Es könnte reichen, wenn ich y festhalte und nur nach x abschätze.
Ich müsste ja eine Funktion finden, die kleiner ist als die o.g. f(x,y). Allerdings gelingt es mir nur, den cos(x) nach oben durch 1 abzuschätzen und nicht umgekehrt.
>
> Ich würde hier versuchen, mir eine Funktion herzunehmen,
> die kleiner/größer als dein f ist, die auch schon
> divergiert.
>
> LG
>
> Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Di 31.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass die Funktion
> [mm]f:[0,\pi]\times (0,1]\to\IR, \; \; f(x,y)=\frac{\cos(x)}{y}[/mm]
>
> nicht Lebesgue-integrierbar ist.
> Hallo,
>
> z.z. ist also [mm]\limes_{a\rightarrow 0} \int_a^1 \int_0^{\pi} \frac{\cos(x)}{y} \; d\mu(x) \; d\mu(y) = \infty[/mm]
>
> Das kann ich ja getrennt integrieren
> [mm]\int_0^{\pi} \cos(x) \; d\mu(x) = sin(x) |_{0}^{\pi} = 0[/mm]
>
> [mm]\int_a^1 \frac{1}{y} \; d\mu(y) = ln(y) |_a^1= 0 - ln(a) \to \infty, a\to 0[/mm]
>
> Damit komme ich dann insgesamt auf den unbestimmten
> Ausdruck [mm]0\cdot\infty[/mm]
> Wie zeige ich aber jetzt, dass [mm]f[/mm] wirklich nicht
> L-integrierbar ist?
>
>
> Gruß Patrick
>
[mm] f(x,y)=\frac{\cos(x)}{y} [/mm] ist lokal integrierbar über [mm] [0,\pi]\times [/mm] (0,1] (d.h. integrierbar über jede kompakte Teilmenge von [mm] [0,\pi]\times [/mm] (0,1] )
Da das Integral [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{y} dy } [/mm] nicht existiert, folgt aus dem Satz von Tonelli, dass die Funktion
$ [mm] f:[0,\pi]\times (0,1]\to\IR, \; \; f(x,y)=\frac{\cos(x)}{y} [/mm] $
nicht Lebesgue-integrierbar ist.
FRED
|
|
|
|
