neutrales Element aber Wie? < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:01 Mo 22.04.2013 | | Autor: | sMaus |
| Aufgabe | | Es sei G eine nichtleere Menge mit einer Verknüpfung °: G x G -> G, (a,b) -> a°b, die das Assoziativgesetzt erfüllt. Weiterhin werde vorausgesetzt, dass die Gleichung a°x= b und x°c=d Lösungen in G besitzen, wobei a,b,c,d beliebige Elemente aus G sind. Zeigen Sie, dass G eine Gruppe ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also muss ich nur noch zeigen, dass es ein neutrales Elment und ein inverses Element gibt. Mir fehlt jedoch der ANsatz für beide. Denke schon seit Stunden drüber nach. Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Mo 22.04.2013 | | Autor: | valoo |
> Es sei G eine nichtleere Menge mit einer Verknüpfung °: G
> x G -> G, (a,b) -> a°b, die das Assoziativgesetzt
> erfüllt. Weiterhin werde vorausgesetzt, dass die Gleichung
> a°x= b und x°c=d Lösungen in G besitzen, wobei a,b,c,d
> beliebige Elemente aus G sind. Zeigen Sie, dass G eine
> Gruppe ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Also muss ich nur noch zeigen, dass es ein neutrales
> Elment und ein inverses Element gibt. Mir fehlt jedoch der
> ANsatz für beide. Denke schon seit Stunden drüber nach.
> Kann mir jemand helfen?
Hallo!
Klar ist erstmal, dass es zu jedem Element c ein Linksneutrales Element [mm] 1_{c} [/mm] gibt (wähle c=d). Nehm dir ein anderes d und [mm] 1_{d} [/mm] und zeige, dass [mm] 1_{c} [/mm] auch linksneutral zu d ist. Dann gibt es ein Linksneutrales 1 und mit d=1 findet man dann ein Linksinverses.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 Mo 22.04.2013 | | Autor: | sMaus |
hm..... oke also:
x°c=d
Sei c =d
x°c= c
c(hoch)-1x°c = e
wegen Assoziativ gesetze
ex =e
x =1 ? versteh ich nicht. UNd was solld das mit diesen 1ern? kannst du mir bitte helfen? habe grad mit dem Studium angefangen :(
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Hallo,
> x =1 ? versteh ich nicht. UNd was solld das mit diesen
> 1ern? kannst du mir bitte helfen? habe grad mit dem Studium
> angefangen :(
Ich würde hier auch nicht anfangen, irgendwelche Zahlen zu schreiben, die man dann noch indizieren muss (es ist ja auch nicht virgeschrieben, die Gruppe multiplikativ zu schreiben, im additiven Fall müsstest du Nullen schreiben).
Aus der Tatsache, dass ax=b sowie xc=d Lösungen in G besitzen, folgt, dass jedes Element von G ein rechts- und ein linksinverses Element beitzt. Die brauchst du insbesondere nicht mehr beweisen, denn deren Existenz ist gegeben.
Der Tipp von valloo, nämlich etwa xc=c zu setzen, funktioniert auch einfach, indem du das neutrale Element mit e benennst. Er (der Tipp) soll einfach dabei helfen, das schriftlich zu zeigen, was offensichtlich ist: G besitzt ein neutrales Element. Und je nachdem, was alles verwendet werden darf bist du schon fertig oder musst eventuell noch die Gleichheit von links- und rechtsinversem Element zeigen.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei G eine nichtleere Menge mit einer Verknüpfung °: G
> x G -> G, (a,b) -> a°b, die das Assoziativgesetzt
> erfüllt. Weiterhin werde vorausgesetzt, dass die Gleichung
> a°x= b und x°c=d Lösungen in G besitzen, wobei a,b,c,d
> beliebige Elemente aus G sind. Zeigen Sie, dass G eine
> Gruppe ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Also muss ich nur noch zeigen, dass es ein neutrales
> Elment und ein inverses Element gibt. Mir fehlt jedoch der
> ANsatz für beide. Denke schon seit Stunden drüber nach.
> Kann mir jemand helfen?
es wurde ja schon viel gesagt. Nichtsdestotrotz:
Zum neutralen Element:
Sei $a [mm] \in [/mm] G$ beliebig, aber im Folgenden stets fest! Dann haben die Gleichungen
[mm] $a\circ x=a\,$ [/mm] und $y [mm] \circ [/mm] a=a$ Lösungen [mm] $x,y\,$ [/mm] in [mm] $G\,,$ [/mm] nach Voraussetzung. Seien nun [mm] $e_r:=x$ [/mm]
("Hoffnung: [mm] $e_r$ [/mm] ist rechtsneutrales Element") und [mm] $e_\ell:=y$ [/mm] ("Hoffnung:
... (klar, oder)"), wobei [mm] $x\,$ [/mm] EINE Lösung von $a [mm] \circ [/mm] x=a$ und $y$ EINE Lösung von $y [mm] \circ [/mm] a=a$
ist (von "der" Lösung können wir - jeweils - ja noch gar nicht sprechen!)
Zeige zunächst: Für alle $b [mm] \in [/mm] G$ gilt $b [mm] \circ e_r=b\,.$ [/mm] Zeige danach: Für alle
$b [mm] \in [/mm] G$ gilt [mm] $e_\ell \circ b=b\,.$
[/mm]
Beweisen wir mal die "Rechtsneutralität" (von "solch' einem" [mm] $e_r$):
[/mm]
Sei $b [mm] \in [/mm] G$ beliebig und [mm] $x_b$ [/mm] EINE Lösung der Gleichung $b [mm] \circ x_b=b\,.$ [/mm] Sei
nun [mm] $\tilde{y}$ [/mm] EINE Lösung der Gleichung [mm] $\tilde{y} \circ a=b\,.$ [/mm]
Dann gilt
$$b [mm] \circ e_r=(\tilde{y} \circ [/mm] a) [mm] \circ e_r=\tilde{y} \circ [/mm] (a [mm] \circ e_r)=...$$
[/mm]
Jetzt Du! (Beachte: [mm] $e_r$ [/mm] war EINE Lösung [mm] $x\,$ [/mm] der Gleichung $a [mm] \circ [/mm] x=a$
- was kannst Du also für $a [mm] \circ e_r$ [/mm] einsetzen? Danach schau' Dir nochmal
an, von welcher Gleichung [mm] $\tilde{y}$ [/mm] EINE Lösung war...)
P.S. In diesem Zusammenhang ein empfehlenswertes Buch: Algebra, von
Meyberg und Karpfinger. Eventuell kannst Du's Dir ja in der Bib. ausleihen!
Gruß,
Marcel
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