matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenNumerik linearer Gleichungssystemenatürliche kubische Splines,
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme" - natürliche kubische Splines,
natürliche kubische Splines, < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

natürliche kubische Splines,: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:11 Sa 06.02.2016
Autor: sissile

Aufgabe
Ich möchte einen kubischen natürlichen Spline finden [mm] S:[0,2]\rightarrow \mathbb{R} [/mm] so dass er den Datensatz [mm] \{(0,1),(1,2),(2,0)\} [/mm] interproliert.

Hallo,
Ich habe das Beispiel schon gelöst mittels der Grammschen Matrix(hier nur 1x1 Matrix) der nodalen Basis(Hüttchenfunktion).

Ich wollte es aber nochmals direkt lösen:
[mm] s_1(x)=ax^3+bx^2+cx+d, s_1'(x)=3ax^2+2bx+c, s_1''(x)=6ax+2b [/mm]
[mm] s_2(x)=ex^3+fx^2+gx+h, s_2'(x)=3ex^2+2fx+g, s_2''(x)=6ex+2f [/mm]

Die Bedingungen an [mm] s_1 [/mm] und [mm] s_2 [/mm] sind doch folgende:
[mm] s_1(0)=1 [/mm] d.h. d=1
[mm] s_1(1)=2=s_2(1) [/mm] d.h. a+c=2=e+f+g+h
[mm] s_2(2)=0 [/mm] d.h. 8e +4f +2g+h=0

Da es ein natürlicher Spline sein soll:
[mm] s_1''(0)=0 [/mm] d.h. b=0
[mm] s_2''(2)=0 [/mm] d.h. 12e+2f=0 [mm] \rightarrow [/mm] e= -f/6

Da [mm] s\in C^2[0,2] [/mm] ist muss
[mm] s_1'(1)=s_2'(1) [/mm] d.h. 3a+c=3e+2f+g
[mm] s_1''(1)=s_2''(1) [/mm] d.h. 6a=6e+2f [mm] \rightarrow [/mm] a=e+f/3

Mich würde interessieren ob schon der Ansatz falsch ist!

Ich hätte nämlich nun:
a=e+f/3 in I: a+c=2=e+f+g+h und II:  3a+c=3e+2f+g eingesetzt
dadurch folgt c=2/3 f +g+h und c=f+g
Woraus folgt 2/3 f + g+h=c=f+g und daraus folgt 1/3 f =h

Aus a+c=2 folgt c=2-a=2-e-f/3 = 2+ f/6 - f/3 = 2 -f/6
Aus e+f+g+h=2 folgt g=2-e-f-h=2+ [mm] \frac{f-6f-2f}{6}= [/mm] 2 - 7/6 f

Aus 8e+4f+2g+h=0 folgt durch einsetzten des Bekannten: [mm] \frac{-8}{6} [/mm] f + 4f + 4 - [mm] \frac{2*7}{6} [/mm] f + [mm] \frac{1}{3} [/mm] f=0 [mm] \iff \frac{-4f+12f-7f+f +12}{3}=0 \iff [/mm] 2f+12=0 [mm] \iff [/mm] f=-6

Daraus folgt e=1, c=3, g=-5, h=-2, a=-1 was falsche Ergebnisse bringt.

        
Bezug
natürliche kubische Splines,: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:32 So 07.02.2016
Autor: angela.h.b.


> Ich möchte einen kubischen natürlichen Spline finden
> [mm]S:[0,2]\rightarrow \mathbb{R}[/mm] so dass er den Datensatz
> [mm]\{(0,1),(1,2),(2,0)\}[/mm] interproliert.
>  Hallo,
>  Ich habe das Beispiel schon gelöst mittels der Grammschen
> Matrix(hier nur 1x1 Matrix) der nodalen
> Basis(Hüttchenfunktion).
>  
> Ich wollte es aber nochmals direkt lösen:
>  [mm]s_1(x)=ax^3+bx^2+cx+d, s_1'(x)=3ax^2+2bx+c, s_1''(x)=6ax+2b[/mm]
>  
> [mm]s_2(x)=ex^3+fx^2+gx+h, s_2'(x)=3ex^2+2fx+g, s_2''(x)=6ex+2f[/mm]
>  
> Die Bedingungen an [mm]s_1[/mm] und [mm]s_2[/mm] sind doch folgende:
>  [mm]s_1(0)=1[/mm] d.h. d=1
>  [mm]s_1(1)=2=s_2(1)[/mm] d.h. a+c=2=e+f+g+h

Hallo,

es ist doch s(1)=a+b+c und nicht a+c.

LG Angela



>  [mm]s_2(2)=0[/mm] d.h. 8e +4f +2g+h=0
>  
> Da es ein natürlicher Spline sein soll:
>  [mm]s_1''(0)=0[/mm] d.h. b=0
>  [mm]s_2''(2)=0[/mm] d.h. 12e+2f=0 [mm]\rightarrow[/mm] e= -f/6
>  
> Da [mm]s\in C^2[0,2][/mm] ist muss
>  [mm]s_1'(1)=s_2'(1)[/mm] d.h. 3a+c=3e+2f+g
>  [mm]s_1''(1)=s_2''(1)[/mm] d.h. 6a=6e+2f [mm]\rightarrow[/mm] a=e+f/3
>  
> Mich würde interessieren ob schon der Ansatz falsch ist!
>  
> Ich hätte nämlich nun:
>  a=e+f/3 in I: a+c=2=e+f+g+h und II:  3a+c=3e+2f+g
> eingesetzt
>  dadurch folgt c=2/3 f +g+h und c=f+g
>  Woraus folgt 2/3 f + g+h=c=f+g und daraus folgt 1/3 f =h
>  
> Aus a+c=2 folgt c=2-a=2-e-f/3 = 2+ f/6 - f/3 = 2 -f/6
>  Aus e+f+g+h=2 folgt g=2-e-f-h=2+ [mm]\frac{f-6f-2f}{6}=[/mm] 2 -
> 7/6 f
>  
> Aus 8e+4f+2g+h=0 folgt durch einsetzten des Bekannten:
> [mm]\frac{-8}{6}[/mm] f + 4f + 4 - [mm]\frac{2*7}{6}[/mm] f + [mm]\frac{1}{3}[/mm] f=0
> [mm]\iff \frac{-4f+12f-7f+f +12}{3}=0 \iff[/mm] 2f+12=0 [mm]\iff[/mm] f=-6
>  
> Daraus folgt e=1, c=3, g=-5, h=-2, a=-1 was falsche
> Ergebnisse bringt.


Bezug
                
Bezug
natürliche kubische Splines,: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 So 07.02.2016
Autor: sissile


> > Ich möchte einen kubischen natürlichen Spline finden
> > [mm]S:[0,2]\rightarrow \mathbb{R}[/mm] so dass er den Datensatz
> > [mm]\{(0,1),(1,2),(2,0)\}[/mm] interproliert.
>  >  Hallo,
>  >  Ich habe das Beispiel schon gelöst mittels der
> Grammschen
> > Matrix(hier nur 1x1 Matrix) der nodalen
> > Basis(Hüttchenfunktion).
>  >  
> > Ich wollte es aber nochmals direkt lösen:
>  >  [mm]s_1(x)=ax^3+bx^2+cx+d, s_1'(x)=3ax^2+2bx+c, s_1''(x)=6ax+2b[/mm]
>  
> >  

> > [mm]s_2(x)=ex^3+fx^2+gx+h, s_2'(x)=3ex^2+2fx+g, s_2''(x)=6ex+2f[/mm]
>  
> >  

> > Die Bedingungen an [mm]s_1[/mm] und [mm]s_2[/mm] sind doch folgende:
>  >  [mm]s_1(0)=1[/mm] d.h. d=1
>  >  [mm]s_1(1)=2=s_2(1)[/mm] d.h. a+c=2=e+f+g+h
>  
> Hallo,
>  
> es ist doch s(1)=a+b+c und nicht a+c.
>  
> LG Angela

Danke für deinen Post!
Aber hier geht schon ein, dass $ [mm] s_1''(0)=0 [/mm] $ d.h. b=0 ist. Unglücklicherweise steht das erst zwei Zeilen drunter als Eigenschaft eines natürlichen Splines.
Würde mich über weitere Korrektur freuen, da das Ergebnis am Schluss nicht passt.

Bezug
                        
Bezug
natürliche kubische Splines,: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:21 So 07.02.2016
Autor: Jule2

Wo ist denn bei [mm] s_{1}(1)=2=s_{2}(1) [/mm] dein d=1 geblieben??
Also gilt dann  [mm] s_{1}(1)=a+c+1=2 \Rightarrow [/mm] a+c=1!!
Damit komme ich auf:

[mm] a=-\bruch{3}{4} [/mm] , b=0 , [mm] c=\bruch{1}{4} [/mm] , d=1

[mm] e=\bruch{3}{4} [/mm] , [mm] f=-\bruch{9}{2} [/mm] , [mm] g=\bruch{25}{4} [/mm] , [mm] h=-\bruch{1}{2} [/mm]

Lg

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]