natürliche kubische Splines, < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Sa 06.02.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Ich möchte einen kubischen natürlichen Spline finden [mm] S:[0,2]\rightarrow \mathbb{R} [/mm] so dass er den Datensatz [mm] \{(0,1),(1,2),(2,0)\} [/mm] interproliert. |
Hallo,
Ich habe das Beispiel schon gelöst mittels der Grammschen Matrix(hier nur 1x1 Matrix) der nodalen Basis(Hüttchenfunktion).
Ich wollte es aber nochmals direkt lösen:
[mm] s_1(x)=ax^3+bx^2+cx+d, s_1'(x)=3ax^2+2bx+c, s_1''(x)=6ax+2b
[/mm]
[mm] s_2(x)=ex^3+fx^2+gx+h, s_2'(x)=3ex^2+2fx+g, s_2''(x)=6ex+2f
[/mm]
Die Bedingungen an [mm] s_1 [/mm] und [mm] s_2 [/mm] sind doch folgende:
[mm] s_1(0)=1 [/mm] d.h. d=1
[mm] s_1(1)=2=s_2(1) [/mm] d.h. a+c=2=e+f+g+h
[mm] s_2(2)=0 [/mm] d.h. 8e +4f +2g+h=0
Da es ein natürlicher Spline sein soll:
[mm] s_1''(0)=0 [/mm] d.h. b=0
[mm] s_2''(2)=0 [/mm] d.h. 12e+2f=0 [mm] \rightarrow [/mm] e= -f/6
Da [mm] s\in C^2[0,2] [/mm] ist muss
[mm] s_1'(1)=s_2'(1) [/mm] d.h. 3a+c=3e+2f+g
[mm] s_1''(1)=s_2''(1) [/mm] d.h. 6a=6e+2f [mm] \rightarrow [/mm] a=e+f/3
Mich würde interessieren ob schon der Ansatz falsch ist!
Ich hätte nämlich nun:
a=e+f/3 in I: a+c=2=e+f+g+h und II: 3a+c=3e+2f+g eingesetzt
dadurch folgt c=2/3 f +g+h und c=f+g
Woraus folgt 2/3 f + g+h=c=f+g und daraus folgt 1/3 f =h
Aus a+c=2 folgt c=2-a=2-e-f/3 = 2+ f/6 - f/3 = 2 -f/6
Aus e+f+g+h=2 folgt g=2-e-f-h=2+ [mm] \frac{f-6f-2f}{6}= [/mm] 2 - 7/6 f
Aus 8e+4f+2g+h=0 folgt durch einsetzten des Bekannten: [mm] \frac{-8}{6} [/mm] f + 4f + 4 - [mm] \frac{2*7}{6} [/mm] f + [mm] \frac{1}{3} [/mm] f=0 [mm] \iff \frac{-4f+12f-7f+f +12}{3}=0 \iff [/mm] 2f+12=0 [mm] \iff [/mm] f=-6
Daraus folgt e=1, c=3, g=-5, h=-2, a=-1 was falsche Ergebnisse bringt.
|
|
| |
|
> Ich möchte einen kubischen natürlichen Spline finden
> [mm]S:[0,2]\rightarrow \mathbb{R}[/mm] so dass er den Datensatz
> [mm]\{(0,1),(1,2),(2,0)\}[/mm] interproliert.
> Hallo,
> Ich habe das Beispiel schon gelöst mittels der Grammschen
> Matrix(hier nur 1x1 Matrix) der nodalen
> Basis(Hüttchenfunktion).
>
> Ich wollte es aber nochmals direkt lösen:
> [mm]s_1(x)=ax^3+bx^2+cx+d, s_1'(x)=3ax^2+2bx+c, s_1''(x)=6ax+2b[/mm]
>
> [mm]s_2(x)=ex^3+fx^2+gx+h, s_2'(x)=3ex^2+2fx+g, s_2''(x)=6ex+2f[/mm]
>
> Die Bedingungen an [mm]s_1[/mm] und [mm]s_2[/mm] sind doch folgende:
> [mm]s_1(0)=1[/mm] d.h. d=1
> [mm]s_1(1)=2=s_2(1)[/mm] d.h. a+c=2=e+f+g+h
Hallo,
es ist doch s(1)=a+b+c und nicht a+c.
LG Angela
> [mm]s_2(2)=0[/mm] d.h. 8e +4f +2g+h=0
>
> Da es ein natürlicher Spline sein soll:
> [mm]s_1''(0)=0[/mm] d.h. b=0
> [mm]s_2''(2)=0[/mm] d.h. 12e+2f=0 [mm]\rightarrow[/mm] e= -f/6
>
> Da [mm]s\in C^2[0,2][/mm] ist muss
> [mm]s_1'(1)=s_2'(1)[/mm] d.h. 3a+c=3e+2f+g
> [mm]s_1''(1)=s_2''(1)[/mm] d.h. 6a=6e+2f [mm]\rightarrow[/mm] a=e+f/3
>
> Mich würde interessieren ob schon der Ansatz falsch ist!
>
> Ich hätte nämlich nun:
> a=e+f/3 in I: a+c=2=e+f+g+h und II: 3a+c=3e+2f+g
> eingesetzt
> dadurch folgt c=2/3 f +g+h und c=f+g
> Woraus folgt 2/3 f + g+h=c=f+g und daraus folgt 1/3 f =h
>
> Aus a+c=2 folgt c=2-a=2-e-f/3 = 2+ f/6 - f/3 = 2 -f/6
> Aus e+f+g+h=2 folgt g=2-e-f-h=2+ [mm]\frac{f-6f-2f}{6}=[/mm] 2 -
> 7/6 f
>
> Aus 8e+4f+2g+h=0 folgt durch einsetzten des Bekannten:
> [mm]\frac{-8}{6}[/mm] f + 4f + 4 - [mm]\frac{2*7}{6}[/mm] f + [mm]\frac{1}{3}[/mm] f=0
> [mm]\iff \frac{-4f+12f-7f+f +12}{3}=0 \iff[/mm] 2f+12=0 [mm]\iff[/mm] f=-6
>
> Daraus folgt e=1, c=3, g=-5, h=-2, a=-1 was falsche
> Ergebnisse bringt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 So 07.02.2016 | | Autor: | sissile |
> > Ich möchte einen kubischen natürlichen Spline finden
> > [mm]S:[0,2]\rightarrow \mathbb{R}[/mm] so dass er den Datensatz
> > [mm]\{(0,1),(1,2),(2,0)\}[/mm] interproliert.
> > Hallo,
> > Ich habe das Beispiel schon gelöst mittels der
> Grammschen
> > Matrix(hier nur 1x1 Matrix) der nodalen
> > Basis(Hüttchenfunktion).
> >
> > Ich wollte es aber nochmals direkt lösen:
> > [mm]s_1(x)=ax^3+bx^2+cx+d, s_1'(x)=3ax^2+2bx+c, s_1''(x)=6ax+2b[/mm]
>
> >
> > [mm]s_2(x)=ex^3+fx^2+gx+h, s_2'(x)=3ex^2+2fx+g, s_2''(x)=6ex+2f[/mm]
>
> >
> > Die Bedingungen an [mm]s_1[/mm] und [mm]s_2[/mm] sind doch folgende:
> > [mm]s_1(0)=1[/mm] d.h. d=1
> > [mm]s_1(1)=2=s_2(1)[/mm] d.h. a+c=2=e+f+g+h
>
> Hallo,
>
> es ist doch s(1)=a+b+c und nicht a+c.
>
> LG Angela
Danke für deinen Post!
Aber hier geht schon ein, dass $ [mm] s_1''(0)=0 [/mm] $ d.h. b=0 ist. Unglücklicherweise steht das erst zwei Zeilen drunter als Eigenschaft eines natürlichen Splines.
Würde mich über weitere Korrektur freuen, da das Ergebnis am Schluss nicht passt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 So 07.02.2016 | | Autor: | Jule2 |
Wo ist denn bei [mm] s_{1}(1)=2=s_{2}(1) [/mm] dein d=1 geblieben??
Also gilt dann [mm] s_{1}(1)=a+c+1=2 \Rightarrow [/mm] a+c=1!!
Damit komme ich auf:
[mm] a=-\bruch{3}{4} [/mm] , b=0 , [mm] c=\bruch{1}{4} [/mm] , d=1
[mm] e=\bruch{3}{4} [/mm] , [mm] f=-\bruch{9}{2} [/mm] , [mm] g=\bruch{25}{4} [/mm] , [mm] h=-\bruch{1}{2}
[/mm]
Lg
|
|
|
|
