n/p ist Primzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei n [mm] \in \IN [/mm] eine zusammengesetzte Zahl. Sei p die kleinste Primzahl, die n teilt, und sei p > [mm] \wurzel[3]{n}. [/mm] Beweisen Sie, dass [mm] \bruch{n}{p} [/mm] eine Primzahl ist. |
Hallo,
ich bin hier wieder mal ratlos. Für einen Tipp wäre ich dankbar ...
Viele Grüße,
Martin
|
|
| |
|
> Sei n [mm]\in \IN[/mm] eine zusammengesetzte Zahl. Sei p die
> kleinste Primzahl, die n teilt, und sei p > [mm]\wurzel[3]{n}.[/mm]
> Beweisen Sie, dass [mm]\bruch{n}{p}[/mm] eine Primzahl ist.
Das bedeutet doch:
[mm] n=p*q_1q_2q_3..., [/mm] wobei die [mm] q_s [/mm] die weiteren Primfaktoren von n sind, und zwar in aufsteigender Reihenfolge.
... dass [mm]\bruch{n}{p}[/mm] eine Primzahl ist heißt: es gibt nur [mm] q_1 [/mm] und keine weiteren Primfaktoren, wobei nun [mm] q_1\ge [/mm] p sein muss.
p > [mm]\wurzel[3]{n}[/mm] bedeutet: [mm] p^3 [/mm] >n = [mm] p*q_1q_2q_3...
[/mm]
Jetzt folgerst du aus der letzten Ungleichung, dass nur [mm] q_1 [/mm] existieren kann.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 Do 08.10.2020 | | Autor: | sancho1980 |
Wir haben zeitgleich gepostet. Meins müsste aber stimmen, oder?
|
|
|
| |
|
Heureka, ich glaub ich hab's:
Aus p > [mm] \wurzel[3]{n} [/mm] folgt, dass [mm] \bruch{n}{p} [/mm] < [mm] \bruch{n}{\wurzel[3]{n}} [/mm] = [mm] n^{\bruch{2}{3}}.
[/mm]
Wenn [mm] \bruch{n}{p} [/mm] zusammengesetzt ist, muss es einen Primteiler q [mm] \le \wurzel{\bruch{n}{p}} [/mm] haben. Wegen [mm] \bruch{n}{p} [/mm] < [mm] n^{\bruch{2}{3}} [/mm] muss sogar q < [mm] \wurzel{n^{\bruch{2}{3}}} [/mm] = [mm] n^{\bruch{1}{3}} [/mm] gelten. Doch q müsste dann auch ein Primteiler von n sein, und der kleinste Primteiler von n ist bereits p > [mm] n^{\bruch{1}{3}}.
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hiho,
dein Beweis passt.
Gruß,
Gono
|
|
|
|
