n! als Reihe (und Folge) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe eine Aufgabe mit n!, aber wir haben darüber nie geredet, wie ich richtig damit rechne.
Ich habe die Reihe:
[mm] \summe \bruch{(n+1)!}{5^n}
[/mm]
Ich soll nun die Konvergenz bestimmen. Aber mit welchem Kriterium gehe ich n! an?
Ich hätte jetzt spontan das Quotientenkriterium genommen, aber dann habe ich doch:
[mm] \bruch{(n+1+1)!*5^n}{5^{n+1}(n+1)!} [/mm] Was nun?
Könnte man zum Vergleich auch mal die Konvergenz für die FOLGE [mm] a_n: \bruch{(n+1)!}{5^n} [/mm] bestimmen?
Vielleicht wäre mir das Prinzip dann mal klar, denn für mich sieht n! immer unlösbar aus, ich traue mich nicht an solche Aufgaben, da ich nicht weiß, wie ich damit rechnen soll :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Do 22.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Wenn die Fakultät $n!_$ in einer Reihe auftaucht, deutet das immer stark auf das Quotientenkriterium hin.
Dann lässt sich i.d.R. schön kürzen.
Es gilt: $(n+1)! \ = \ [mm] \underbrace{1*2*3*...*(n-1)*n}_{= \ n!}*(n+1) [/mm] \ = \ n!*(n+1)$
Gruß
Loddar
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Tut mir leid, ich habe meinen Ansatz gepostet, als du schon reserviert hast :)
Kann ich daraus nun etwas Sinnvolles formen oder sollte ich bevor ich mit 1 erweitere schon umformen?
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Hallo Englein,
> Tut mir leid, ich habe meinen Ansatz gepostet, als du schon
> reserviert hast :)
>
> Kann ich daraus nun etwas Sinnvolles formen oder sollte ich
> bevor ich mit 1 erweitere schon umformen?
Was meinst du mit "mit 1 erweitern"
Du hast doch [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] richtig gebildet
Nun hat Loddar dir genau die Umformung hingeschrieben, die du anwenden kannt, außerdem brauchst du das Potenzgesetz [mm] $a^{n+1}=a\cdot{}a^n$
[/mm]
Du musst das einfach mal anwenden, ohne Probieren und Austesten kommst du nicht weit in Mathe...
Du kannst ja nix kaputtmachen 
Also [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+2)!\cdot{}5^n}{5^{n+1}\cdot{}(n+1)!}$
[/mm]
[mm] $=\frac{(n+2)\cdot{}(n+1)!\cdot{}5^n}{5\cdot{}5^{n}\cdot{}(n+1)!}$
[/mm]
Nun kürzen und dann den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm] machen
LG
schachuzipus
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Achsooooo *Groschen gefallen*
Demnach ist das Ergebnis also 1/5?
Und das kann ich immer so umformen? EInfach n!*(Klammer)? In dem Fall ist "Klammer" einmal n+2 und einmal n+1?
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Hallo nochmal,
> Achsooooo *Groschen gefallen*
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> Demnach ist das Ergebnis also 1/5? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, du bist nicht bei der Sache, zu unkonzentriert.
Was bleibt denn übrig, wenn du oben kürzt?
Das strebt nicht gegen [mm] $\frac{1}{5}$ [/mm] !!
>
> Und das kann ich immer so umformen? EInfach n!*(Klammer)?
> In dem Fall ist "Klammer" einmal n+2 und einmal n+1?
Ja, du kannst im´mer den höchsten Faktor aus der Fakultät rausziehen und dann die Fakultät um 1 erniedrigen, mal salopp gesagt
Also zB. [mm] $(n+1)!=(n+1)\cdot{}n!$ [/mm] oder [mm] $(2n+2)!=(2n+2)\cdot{}(2n+1)!$
[/mm]
Oder noch weiter: [mm] $(2n+2)!=(2n+2)\cdot{}(2n+1)!=(2n+2)\cdot{}(2n+1)\cdot{}(2n)!$ [/mm] ...
LG
schachuzipus
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Dann verstehe ich das doch nicht.
Ich habe doch
[mm] \bruch{(n+2)!*5^n}{5^{n+1}(n+1)}
[/mm]
daraus kann ich kürzen: [mm] 5^n [/mm] und schreiben
[mm] \bruch{n!(n+2)}{n!(n+1)*5}
[/mm]
Ich kürze nun n!
[mm] \bruch{n+2}{5n+5}
[/mm]
ich kürze n
[mm] \bruch{1+2/n}{5+5/n}
[/mm]
DIe Brüche gehen gegen unendlich gegen 0, also: 1/5
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Hallo Englein89,
> Dann verstehe ich das doch nicht.
>
> Ich habe doch
>
> [mm]\bruch{(n+2)!*5^n}{5^{n+1}(n+1)}[/mm]
>
> daraus kann ich kürzen: [mm]5^n[/mm] und schreiben
>
> [mm]\bruch{n!(n+2)}{n!(n+1)*5}[/mm]
[mm]\left(n+2\right)! = \left(n+1\right)!*\left(n+2\right)=n! *\red{\left(n+1\right)}*\left(n+2\right)[/mm]
>
> Ich kürze nun n!
>
> [mm]\bruch{n+2}{5n+5}[/mm]
>
> ich kürze n
>
> [mm]\bruch{1+2/n}{5+5/n}[/mm]
>
> DIe Brüche gehen gegen unendlich gegen 0, also: 1/5
Gruß
MathePower
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Hm, also immer (n+1)*(Klammer)?
Dann habe ich am Ende
[mm] \bruch{n+3}{5}, [/mm] also geht der Grenzwert gegen unendlich?
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Hallo Englein89,
> Hm, also immer (n+1)*(Klammer)?
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> Dann habe ich am Ende
>
> [mm]\bruch{n+3}{5},[/mm] also geht der Grenzwert gegen unendlich?
Am Ende hast Du dann
[mm]\bruch{n+\red{2}}{5}[/mm]
Und ja, dieser Wert geht für [mm]n \to \infty[/mm] ebenfalls gegen [mm]\infty[/mm]
Gruß
MathePower
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