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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - n^2 kleiner gleich 2^n
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n^2 kleiner gleich 2^n: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 Do 01.11.2007
Autor: Stefanie.84

Aufgabe
Für welche natürlichen Zahlen n gilt die Ungleichung [mm] n^2 \le 2^n? [/mm]

Hallihallo,

ich sitze über dieser Aufgabe und finde keinen richtigen Anfang. Würde es gerne über vollständige Induktion lösen. Ist es evtl. über Bernoullische Ungleichung zu lösen!? Oder geht das nicht und jemand hat eine viel bessere Idee!?

Mein Induktionsschluss ist: [mm] (1+n)^2 \le 2^{(n+1)} [/mm] = [mm] n^2 [/mm] + 2n +1 [mm] \le 2*2^n. [/mm]

Das rote könnte doch Bernoullische Ungleichung sein, oder!?
Aber wie mache ich jetzt weiter?

LG und Danke im Vorraus,
Stefanie.

        
Bezug
n^2 kleiner gleich 2^n: abschätzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Do 01.11.2007
Autor: Loddar

Hallo Stefanie!


Hier wird "nur" abgeschätzt - Herrn Bernoulli braucht man m.E. nicht:

[mm] $$(n+1)^2 [/mm] \ = \ [mm] \red {n^2}+2*n+1 [/mm] \ [mm] \red{\le \ 2^n} [/mm]  + [mm] \blue{2*n+1} [/mm] \ [mm] \blue{\le} [/mm] \ [mm] 2^n+\blue{n^2}$$ [/mm]
Und nun nochmals die Induktionsvoraussetzung [mm] $n^2\le 2^n$ [/mm] einsetzen.


Gruß
Loddar


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Bezug
n^2 kleiner gleich 2^n: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Do 01.11.2007
Autor: Stefanie.84

Erst einmal herzlichen Dank für die schnelle Antwort.

Ich kann das fast alles so nachvollziehen und auch den letzten Schritt, aber woher weiß ich, dass 2*n+1 [mm] \le n^2 [/mm] ist!?

Lg, Stefanie!


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Bezug
n^2 kleiner gleich 2^n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:25 Do 01.11.2007
Autor: max3000

Das [mm] 2n+1\le n^{2} [/mm] kannst du ja jetzt besser nach n umstellen, als deine Induktionsvorraussetzung.

[mm] n^{2}-2n-1\ge0 [/mm]

Das ganze ist jetzt eine quadratische Gleichung.
Du berechnest einfach die Grenzfälle [mm] n_{0} [/mm] und [mm] n_{1} (n_{0}
Wie man das am besten begründet weiß ich auch nicht so genau.
Kannst vielleicht sagen, dass das graphisch gesehen eine nach oben geöffnete Parabel ist und dass da alle Stellen, die größer als die rechte Nullstelle sind größer als 0 sind.

Hofgfe du konntest damit was anfangen.

Gruß
Max

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Bezug
n^2 kleiner gleich 2^n: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:44 Do 01.11.2007
Autor: rainerS

Hallo Max, hallo Stefanie,

> Das [mm]2n+1\le n^{2}[/mm] kannst du ja jetzt besser nach n
> umstellen, als deine Induktionsvorraussetzung.
>  
> [mm]n^{2}-2n-1\ge0[/mm]
>  
> Das ganze ist jetzt eine quadratische Gleichung.

Nein, eine quadratische Ungleichung.
Am Besten geht ihr mit quadratischer Ergänzung ran:
[mm]0\le n^2-2n-1 =n^2-2n+1 -2 = (n-1)^2 - 2 [/mm],
also [mm](n-1)^2 \ge 2 \implies n\ge3[/mm].

>  Kannst vielleicht sagen, dass das graphisch gesehen eine
> nach oben geöffnete Parabel ist und dass da alle Stellen,
> die größer als die rechte Nullstelle sind größer als 0
> sind.

Das ist natürlich auch richtig; die rechte Nullstelle ist [mm]1+\sqrt{2}[/mm]. Mit der quadratischen Ungleichung bestimmt man diejenigen n, für die die Parabel oberhalb der x-Achse liegt.

  Viele Grüße
    Rainer



Bezug
        
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n^2 kleiner gleich 2^n: falsches Ergebnis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:43 Do 01.11.2007
Autor: Bossebaby

Die Erklärung ist so richtig abba seit wann ist [mm] 9\le8? [/mm] Dein Ergebnis muss entweder: gilt für alle [mm] n\in\IN [/mm] mit n>3 oder mit [mm] n\ge4 [/mm] sein ;-)Hoffe du liest das noch bevor du abgebentust ...
Gruß>


Bezug
                
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n^2 kleiner gleich 2^n: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:19 Do 01.11.2007
Autor: rainerS

Hallo!

> Die Erklärung ist so richtig abba seit wann ist [mm]9\le8?[/mm] Dein
> Ergebnis muss entweder: gilt für alle [mm]n\in\IN[/mm] mit n>3 oder
> mit [mm]n\ge4[/mm] sein ;-)Hoffe du liest das noch bevor du
> abgebentust ...

Richtig.

Das ist in den vielen einzelnen Nachrichten untergegangen: der Induktionsschluss gilt für [mm]n\ge3[/mm]. Da aber die Induktionsvoraussetzung nur für [mm]n\ge4[/mm] gilt, gilt auch die Induktionsaussage nur für [mm]n\ge 4[/mm].

  Viele Grüße
    Rainer

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