n-te Wurzel aus x - Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich soll [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \wurzel[n]{x} [/mm] mit dem Definitionsbereich I = [0,1] für n [mm] \to \infty [/mm] auf gleichmäßige und punktweise Konvergenz bestimmen.
Bei der punktweisen Konvergenz muss ich ja eigentlich die Frage beantworten für welche x in I die Zahlenfolge überhaupt konvergiert.
Für x = 0 gilt [mm] f_n(0) [/mm] = 0 für alle n.
Für x = 1 gilt [mm] f_n(1) [/mm] = 1 für alle n.
Soweit ich das verstehe konvergiert also [mm] f_n [/mm] für x = 0 oder x = 1 nicht, da die Funktionenfolge konstant 0 oder 1 ist. Somit auch nicht punktweise konvergent.
Für x [mm] \in [/mm] (0,1) sieht die Sache schon anders aus: [mm] f_n(x) [/mm] mit x [mm] \in [/mm] (0,1) konvergiert die Zahlenfolge gegen 1. Das ist doch eine bekannte Folge - oder? "Die n-te Wurzel einer Konstanten (x) geht gegen 1 für n [mm] \to \infty [/mm] wenn x > 0 und x < 1.
Also ist [mm] f_n(x) [/mm] punktweise Konvergent für alle x [mm] \in [/mm] (0,1).
Für die gleichmäßige Konvergenz muss ich mir die Abstände anschauen:
[mm] |f_n(x) [/mm] - f(x)| = [mm] |\wurzel[n]{x} [/mm] - f(x)| (n [mm] \to [/mm] infty)
Mit f(x) = 1 und x [mm] \in [/mm] (0, 1) ergibt sich:
|1 - 1| = 0 (n [mm] \to [/mm] infty) - somit gleichmäßig konvergent für x [mm] \in [/mm] (0,1).
Wie die gleichmäßige Konvergenz bei x = 1 und x = 0 aussieht weiß ich nicht. Aber stimmen meine Ausführungen bisher überhaupt?
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Mal so grundsätzlich: Die Funktionenfolge konvergiert punktweise, aber nicht gleichmäßig. Erste Frage: Gegen welche Funktion? Offenbar gegen die Funktion
[mm]f(x)= \begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 \\ 1, & \mbox{für } 0
Warum punktweise? Nun, dazu betrachtet man die Folgen an den Punkten (klar, oder?). Bei x=1 genau wie bei x=0 hat man jeweils konstante Folgen - und die sind natürlich konvergent. Für die Punkte dazwischen ist die Konvergenz auch nicht schwer zu zeigen, zur Not kann man ja logarithmieren.
Wie ist das mit der gleichmäßigen Konvergenz? Dazu solltest du dir nochmal die ![[]](/images/popup.gif) Definition ansehen. Da steht
[mm]\forall \epsilon > 0 \; \exists N \in \IN \; & \mbox{ so, dass } \forall x \in D_f \; & \mbox{ und } \forall n \ge N : |f_n(x)-f(x)| < \epsilon[/mm]
Der Punkt ist, dass es für jedes festgewählte [mm] \epsilon [/mm] ein solches N geben muss, das nur von diesem [mm] \epsilon [/mm] abhängt. Jetzt solltest du überlegen, was passiert, wenn du nur nahe genug an Null herangehst. Kannst du vielleicht ein x finden, wo die Bedingung nicht mehr erfüllt ist?
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Hallo,
danke für deine Antwort.
Wie ich in diesem Falle nun die punktweise Konvergenz zeige ist mir klar. Falls ich dich richtig verstanden habe muss ich nun noch zeigen, dass [mm] f_n(x) [/mm] nicht gleichmäßig konvergiert.
Du sagst ich sollte versuchen ein x zu finden, für das die Kriterien der gleichmäßigen Konvergenz nicht erfüllt werden.
Nach Definition ist [mm] f_n(x) [/mm] gleichmäßig konvergent [mm] \gdw [/mm]
(*) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] |f_n(x)-f(x)| [/mm] = 0 ist (für x aus I).
Ich weiß, dass f(x) für 0 < x [mm] \le [/mm] 1 den Wert 1 annimmt.
Ich kann (*) auch so formulieren: Der Abstand zwischen dem Maximum von [mm] f_n(x) [/mm] und f(x) muss für n [mm] \to \infty [/mm] gegen 0 gehen.
[mm] f_n'(x) [/mm] = [mm] \frac{x^{\frac{1}{n}-1}}{n}
[/mm]
Maximum/Minimum [mm] \gdw f_n'(x) [/mm] = 0
Nun könnte man argumentieren, dass | [mm] f_n'(x) [/mm] - f(x) | nie 0 wird...
Daraus folgt, dass [mm] f_n(x) [/mm] nicht gleichmäßig gegen f(x) konvergiert.
Oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Fr 25.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. hattet ihr nicht den Satz: wenn [mm] f_n [/mm] stetig und fn glm konv dann folgt die Grenzfkt ist stetig?
hier hast du ne unstetige Grenzfkt. d.h. nicht glm stetig.
Du kannst aber auch ne Folge [mm] x_n [/mm] angeben, sodass klar ist dass N von x abhängt.
2. was du machst ist unverstandlich? [mm] f_n(x) [/mm] hat in I sein max bei x=1 sein Min bei x=0 für alle n.
was dein | $ [mm] f_n'(x) [/mm] $ - f(x) | soll versteh ich gar nicht.
Beispiel [mm] f_n(x)=x [/mm] ganz klar [mm] f_n(x) [/mm] konv. punktweise und glm gegen f(x)=x
aber [mm] f_n'(x)-f(x) [/mm] ist nicht 0.
Gruss leduart
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Hallo Leduart,
oh da ist mir beim Formulieren meiner "Lösung" ein Fehler unterlaufen.
Auf was ich hinaus wollte:
Fall [mm] f_n [/mm] gleichmäig stetig sein soll, dann muss der Abstand zwischen [mm] f_n [/mm] und f gegen 0 gehen.
Dann gab es doch einen Trick, dass man einfach [mm] f_n [/mm] ableiten und nach dem Maximum suchen kann. Falls dann das Maximum von n und x abhängt hat man keine gleichmäßige konvergenz.
Das wollte ich irgendwie verwenden. Aber leider habe ich diesen Trick noch nicht ganz verstanden...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Fr 25.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit Ableiten kriegst du ja nur die rel. max, min, nicht unbdingt die absoluten in I!
Was war die Frage?
Gruss leduart
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"Aber leider habe ich diesen Trick noch nicht ganz verstanden... " - wie dieser Trick funktioniert würde ich gerne wissen. 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 30.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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