n-te Wurzel aus komplexe Zahl < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Mi 07.09.2011 | | Autor: | HelpMan |
| Aufgabe | 1.) Berechnen sie Real- und Imaginaerteil von z = [mm] \wurzel{i}
[/mm]
2.) Berechen Sie alle komplexen Loesungen der Gleichung [mm] x^3 [/mm] = -2 -3i |
Habe diesen Artikel gefunden http://www.physik-multimedial.de/cvpmm/sle/komplexzahl/wurzelimgc.html
Jedoch ist mir nicht klar was Alpha ist. Oder warum er hier Alpha = [mm] \pi [/mm] setzt?
Danke fuer eure Hilfe
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> 1.) Berechnen sie Real- und Imaginaerteil von z = [mm]\wurzel{i}[/mm]
> 2.) Berechnen Sie alle komplexen Loesungen der Gleichung
> [mm]x^3[/mm] = -2 -3i
>
> Habe diesen Artikel gefunden
> http://www.physik-multimedial.de/cvpmm/sle/komplexzahl/wurzelimgc.html
> Jedoch ist mir nicht klar was Alpha ist. Oder warum er
> hier Alpha = [mm]\pi[/mm] setzt?
Es geht dort (im Beispiel 10) um Wurzeln aus der Zahl -1 .
Diese Zahl hat in der Ebene der komplexen Zahlen das
"Argument" (den Polarwinkel) [mm] \alpha [/mm] = 180°, im Bogenmaß
heißt dies: [mm] \alpha=\pi [/mm] .
In deinen beiden Beispielen hast du andere Ausgangs-
winkel. Im ersten Beispiel: i hat den Polarwinkel 90° = [mm] \pi/2
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Mi 07.09.2011 | | Autor: | HelpMan |
Heisst das nun, dass es davon abhaengt in welchem Quadranten sich die komplexe Zahl befindet?
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> Heisst das nun, dass es davon abhaengt in welchem
> Quadranten sich die komplexe Zahl befindet?
Klar. Das auch, unter Anderem.
Kleines Beispiel:
[mm] $\wurzel[3]{26-18\,i}\ [/mm] =\ ?$
Die Zahl [mm] c=26-18\,i [/mm] liegt im 4. Quadranten (rechts unten).
Für den zugehörigen Polarwinkel [mm] \varphi [/mm] gilt [mm] tan(\varphi)=-\frac{9}{13}
[/mm]
Daraus ergibt sich [mm] \varphi\approx-34.7^{\circ} [/mm] bzw. [mm] \varphi\approx325.3^{\circ}
[/mm]
Der Betrag von c ist [mm] \sqrt{26^2+18^2}=\sqrt{1000}\approx31.62 [/mm] .
Um eine (erste) Kubikwurzel von c zu finden, muss man
den Winkel durch 3 teilen und aus dem Betrag die 3. Wurzel
bilden. Ergebnis:
Winkel [mm] \approx [/mm] 108.4°
Betrag = [mm] \sqrt{10}\approx3.162
[/mm]
Daraus erhält man:
[mm] x=Betrag*cos(Winkel)\approx-1
[/mm]
[mm] y=Betrag*sin(Winkel)\approx3
[/mm]
Nachrechnen zeigt, dass [mm] (-1+3\,i)^3 [/mm] exakt [mm] 26-18\,i [/mm] ergibt.
Damit hat man eine erste der 3 komplexen Lösungen
der Gleichung [mm] z^3=26-18\,i [/mm] gefunden.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Do 08.09.2011 | | Autor: | HelpMan |
Wenn ich mich richtig erinnere und es verstanden habe, dann liegen alle 3 Loesungen auf dem Kreis mit Radius r um den Ursprung oder?
Diese drei Punkte bilden ein gleichschenkliges Dreieck oder?
Bekomme ich die anderen Punkt nun so, das ich den Winkel durch einmal durch 3 und das andere mal durch 2/3 Teile? Weil dann muessten sie ja ein gleichschenkliges Dreieck bilden oder?
Also P1 mit Winkel 325,3 ; P2: 325,3/3; P3: 2*325,3/3 ?
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Hallo HelpMan,
> Wenn ich mich richtig erinnere und es verstanden habe, dann
> liegen alle 3 Loesungen auf dem Kreis mit Radius r um den
> Ursprung oder?
Ja.
>
> Diese drei Punkte bilden ein gleichschenkliges Dreieck
> oder?
> Bekomme ich die anderen Punkt nun so, das ich den Winkel
> durch einmal durch 3 und das andere mal durch 2/3 Teile?
> Weil dann muessten sie ja ein gleichschenkliges Dreieck
> bilden oder?
> Also P1 mit Winkel 325,3 ; P2: 325,3/3; P3: 2*325,3/3 ?
Die Winkel ergeben sich folgendermaßen:
[mm]\bruch{325,3^{\circ}+k*360^{\circ}}{3}, \ k=0,1,2[/mm]
Gruss
MathePower
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> Wenn ich mich richtig erinnere und es verstanden habe, dann
> liegen alle 3 Loesungen auf dem Kreis mit Radius r um den
> Ursprung oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Diese drei Punkte bilden ein gleichschenkliges Dreieck
> oder?
Sogar ein gleichseitiges Dreieck (alle 3 Seiten gleich
lang ! - für "gleichschenklig" würden auch schon 2 gleich
lange Seiten genügen)
> Bekomme ich die anderen Punkt nun so, das ich den Winkel
> durch einmal durch 3 und das andere mal durch 2/3 Teile?
Nein. Berechne den ersten Winkel wie angegeben. Dann addierst
du zu ihm 120° und dann dazu nochmals 120°.
(wie die Winkel zwischen den Strahlen eines Mercedes-Sterns)
Suchst du z.B. fünfte Wurzeln, ist der Winkel zwischen einer
Lösung und der nächsten natürlich entsprechend 360°:5=72°
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Do 08.09.2011 | | Autor: | HelpMan |
ah... danke fuer eure Hilfe... jetzt hab ich es glaub ich verstanden... :)
PS: hmm... das sollte jetzt nicht als Frage erscheinen, sorry...
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