n-te Moment von X < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Das n-te Moment einer Zufallsvariable X ist definiert als [mm] E[X^{n}].Sei [/mm] X nun eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern n und p.Berechnen Sie das vierte Moment von X. |
Hallo,
ich habe mich gerade hier angemeldet und hoffe Hilfe bei dieser Aufgabe zu bekommen. Ich verstehe die Aufgabe irgendwie nicht und weiß nicht wie ich sie lösen soll. Ich hoffe mir kann jemand dabei helfen. Ich wäre euch echt dankbar. Wäre es nicht dringend hätte ich mich hier auch nicht angemeldet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Höhere Momente: Du weißt, was der Erwartungswert ist? Gut. Jetzt gilt es, den Erwartungswert für Potenzen der Zufallsvariable zu berechnen. Ein Beispie: X sei der Ausgang eines Würfelwurfs (fairer Würfel).
[mm]E(X) = \summe_{i=1}^{6}i * \bruch{1}{6}[/mm]
[mm]E(X^2) = \summe_{i=1}^{6}i^2 * \bruch{1}{6}[/mm]
...
[mm]E(X^n) = \summe_{i=1}^{6}i^n * \bruch{1}{6}[/mm]
Allgemein für eine diskrete Zufallsvariable X, die die Werte [mm] x_i [/mm] annimmt (mit irgendeiner Indexmenge I aus der die i kommen):
[mm]E(X^n) = \summe_{i}x_i^n *P(X=x_i)[/mm]
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Hi,danke für deine Antwort. Das Beispiel von dir verstehe ich wohl,aber kann das einfach nicht auf meine Aufgabe anwenden. Kannst du mir das vielleicht ausnahmsweise erklären,ist nämlich wirklich wichtig :(
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Na gut: Die Binomialverteilung sollte dir ja noch aus der Schule bekannt sein. Man braucht sie z.B. für Fragen wie: Wenn ich zehnmal würfele - wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass ich keine 6 gewürfelt habe? Als Parameter hat man n (hier die Anzahl der Würfe, also 10) und eine Wahrscheinlichkeit p (hier 5/6 - die WS, bei einmal würfeln keine 6 zu werfen). Die binomialverteilte Zufallsvariable X kann dann die Werte k zwischen 0 und n annehmen, wobei sich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten nach der folgenden Formel berechnen:
[mm]P(X=k) = \vektor{n \\ k} p^k (1-p)^{n-k}[/mm]
Dabei ist (Binomialkoeffizient)
[mm]\vektor{n \\ k} = \bruch{n!}{k! (n-k)!}[/mm]
Jetzt setzt du diese Wahrscheinlichkeiten in die Formel ein, die ich dir oben für die höheren Momente angegeben habe, und rechnest mal fröhlich drauflos...
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:31 Sa 01.12.2007 | | Autor: | marcsn |
Sitze an der gleichen Aufgabe und krieg es einfach nicht gebacken.
Ich bekomm die Summe einfach nicht vernünftig umgeformt:
[mm]E[X^4]=\summe_{k=1}^{n} k^4 \vektor{n \\ k} p^k\cdot (1-p)^{n-k}[/mm]
In der Vorlesung hatten wir für das erste Moment also den Erwartungswert das ganze über Indikatorvariablen gemacht, indem wir X in X1,...,Xn aufgeteilt haben, sodass der Erwartungwert:
[mm]E[X]=E[\summe_{i=1}^{n}X_i] =\summe_{i=1}^{n}E[X_i] = np[/mm]
ist, da P(Xi=1) = p gilt.
Gibt es hier nicht auch eine Möglichkeit das irgendwie über die Indikatorvariablen zu lösen da das umformen der Summe da oben echt ganz schön happig ist.
Gruß
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Blech |
> Sitze an der gleichen Aufgabe und krieg es einfach nicht
> gebacken.
>
> Ich bekomm die Summe einfach nicht vernünftig umgeformt:
>
> [mm]E[X^4]=\summe_{k=1}^{n} k^4 \vektor{n \\ k} p^k\cdot (1-p)^{n-k}[/mm]
>
[mm] $=np\sum_{k=1}^n k^4 \frac{(n-1)!}{(n-k)!k!} p^{k-1}(1-p)^{n-k}= [/mm] $
[mm] $=np\sum_{k=1}^n k^3 \frac{(n-1)!}{((n-1)-(k-1))!(k-1)!}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}=$
[/mm]
[mm] $=np\sum_{l=0}^m (l+1)^3{m\choose l} p^l (1-p)^{m-l}$
[/mm]
rinse, repeat
> [mm]E[X]=E[\summe_{i=1}^{n}X_i] =\summe_{i=1}^{n}E[X_i] = np[/mm]
>
> ist, da P(Xi=1) = p gilt.
Ich weiß leider nicht, ob man so auch weiterkommt.
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Danke für eure Diskussion und Hilfe.
Ich bekomm die Aufgabe aber leider nicht hin,das mit dem Würfel verstehe ich,aber ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll :( Bitte helft mir noch. Bekomme es einfach nicht hin,wirklich schlimm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 So 02.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Petra,
ich habe zwei Vorschlaege.
1) Weise die Formel
[mm] $\operatorname{E}[X(X-1)...(X-(r-1))]=n(n-1)...(n-(r-1))p^r$ [/mm] nach.
siehe
![[]](/images/popup.gif) http://statistik.mathematik.uni-wuerzburg.de/~goeb/stochii_theorie_03.05.2006.pdf
Formel (3.3) (Achtung: Korrigiere den Fehler dort!)
Das ist nicht sonderlich schwer, wenn du
[mm] $x(x-1)...(n-(r-1)){n\choose x}=n(n-1)...(n-(r-1)){n-r\choose x-r}$.
[/mm]
ausnutzt. [mm] $\operatorname{E}[X(X-1)...(X-(r-1))]$ [/mm] liefert dir sukzessive
die Momente [mm] $\operatorname{E}[X^k]$.
[/mm]
2) Mit der momenterzeugenden Funktion [mm] $m(t)=\operatorname{E}[\exp(tX)]=(p\exp(t)+1-p)^n$ [/mm]
ist alles ein Klacks. Wertet man naemlich die $k$-te Ableitung von $m(t)$
an der Stelle $t=0$ aus, so erhaelt man auch [mm] $\operatorname{E}[X^k]$.
[/mm]
lg Luis
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Hi,
danke für die schnelle Antwort!
Also ich finde da kein Fehler,weiß auch nicht was ich da machen soll.
Und das beim Zweiten verstehe ich absolut nicht.
Gibt es nicht die Aufgabe irgendwo im Internet? Muss noch nebenbei für eine Klausur lernen und diese Aufgabe kostet mich eigentlich leider schon zuviel Zeit, aber muss sie leider abgeben,da ich Punkte brauche :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 Mo 03.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Also ich finde da kein Fehler,weiß auch nicht was ich da
> machen soll.
Der vorletzte Faktor in (3.3) lautet dort $(n-(p-1))$. Es muss aber $(n-(r-1))$ sein.
> weiß auch nicht was ich da machen soll.
Du willst [mm] $\operatorname{E}[X^4]$ [/mm] berechnen. Nach jener Formel ist
[mm] $\operatorname{E}[X]=np$
[/mm]
[mm] $\operatorname{E}[X(X-1)]=\operatorname{E}[X^2]-\operatorname{E}[X]=n(n-1)p^2$, [/mm] also
[mm] $\operatorname{E}[X^2]=n(n-1)p^2-np$.
[/mm]
Jetzt berechnest du noch [mm] $\operatorname{E}[X^3]=np(n^2p^2-3np^2+2p^2+3np-3p+1)$ [/mm]
nach demselben Strickmuster. Unter Ausnutzung von [mm] $\operatorname{E}[X(X-1)(X-2)(X-3)]=\operatorname{E}[X^4-6X^3+11X^2-6X]=n(n-1)(n-2)(n-3)p^4$ [/mm] kannst du nun [mm] $\operatorname{E}[X^4]=np(n^3p^3-6n^2p^3+11np^3-6p^3+6n^2p^2-18np^2+12p^2+7np-7p+1)$
[/mm]
bestimmen.
lg Luis
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Oh man! Danke erstmal.Aber wie kann ich denn nun [mm] E[X^{4}] [/mm] bestimmen? Ich blick da einfach nicht durch. Und muss ich noch [mm] E[X^{3}] [/mm] berechnen?Eigentlich nicht oder wie kommst du zu der Formel: [mm] {E}[X(X-1)(X-2)(X-3)]=\operatorname{E}[X^4-6X^3+11X^2-6X]=n(n-1)(n-2)(n-3)p^4
[/mm]
Ich glaub ich bin echt zu doof dafür :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Mo 03.12.2007 | | Autor: | vmius |
Hallo.
Ich bearbeite gerade die gleiche Aufgabe.
Ich komme soweit mit, aber eines verstehe ich nicht.
Luis, warum hast du bei [mm] {E}[X^2]=n(n-1)p^2-np. [/mm] Ist nicht [mm] {E}[X^2] [/mm] = {E}[X(X-1)]+{E}[X]also +np? Versteh ich nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Mo 03.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Ich komme soweit mit, aber eines verstehe ich nicht.
> Luis, warum hast du bei [mm]{E}[X^2]=n(n-1)p^2-np.[/mm] Ist nicht
> [mm]{E}[X^2][/mm] = {E}[X(X-1)]+{E}[X]also +np? Versteh ich nicht...
>
Stimmt. Passiert schon mal im Eifer des Gefechts, sorry.
lg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Mo 03.12.2007 | | Autor: | vmius |
Kein Problem, danke auch in meinem Namen.
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Kannst du mir ausnahmsweise den Rest auch noch erklären? Würde ich die Aufgabe allein können,hätte ich mich hier sicher nicht angemeldet :(
Ich wäre dir sehr dankbar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Mo 03.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Petra,
*was* ist dir denn noch unklar?
In dem Posting vom 2.12, 21:43 , wo ich zwei Vorschlaege machte, wies
ich auf die Formel hin:
[mm] $\operatorname{E}[X(X-1)...(X-(r-1))]=n(n-1)...(n-(r-1))p^r [/mm] $
Die solltest du beweisen, wofuer ich auch einen Tipp gab.
Dann ist also [mm] $\operatorname{E}[X]=np$. [/mm] Da du nun [mm] $\operatorname{E}[X]$
[/mm]
kennst, kannst du [mm] $\operatorname{E}[X^2]$ [/mm] aus
[mm] $n(n-1)p^2=\operatorname{E}[X(X-1)]=\operatorname{E}[X^2]-\operatorname{E}[X]$
[/mm]
berechnen. Jetzt kennen wir schon [mm] $\operatorname{E}[X]$ [/mm] und
[mm] $\operatorname{E}[X^2]$. [/mm] Wegen
[mm] $n(n-1)(n-2)p^3=\operatorname{E}[X(X-1)(X-2)]=\operatorname{E}[X^3]-3\operatorname{E}[X^2]+2\operatorname{E}[X]$
[/mm]
kannst du nun [mm] $\operatorname{E}[X^3]$ [/mm] ermitteln. Jetzt kennen wir
schon [mm] $\operatorname{E}[X]$, $\operatorname{E}[X^2]$ [/mm] und [mm] $\operatorname{E}[X^3]$. [/mm]
Der Rest ist in meinem Posting vom 3.12, 9:46 Uhr beschrieben.
lg Luis
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Danke,ich glaub wohl das ich dich nerve,komme damit aber wirklich nicht klar :( Wie kann ich denn die Formel beweisen?Ich blick da nicht durch. Ich schaffe es einfach nicht [mm] E[X^{2}] [/mm] zu bestimmen. Ich kann das doch nicht einfach so aufschreiben wie du es getan hast oder?Also ob das so reichen würde. Ich blick da einfach nicht mehr durch :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Mo 03.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Ich blick da einfach nicht mehr durch
Tut mir Leid, ich bin mit meinem Latein am Ende.
lg Luis
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Ich möchte doch einfach nur wissen,ob ich das so aufschreiben kann oder was ich noch zeigen muss,das meint ich damit das ich da nicht mehr durchblicke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mo 03.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Petra,
ich habe dir doch heute die Luecken beschrieben, die noch zu fuellen sind.
Tu das doch einmal. Z.B. ist die Formel fuer [mm] $\operatorname{E}[X(X-1)...(X-(r-1))]$
[/mm]
zu beweisen.
Mir ist schleierhaft, dass du Berechnung von [mm] $\operatorname{E}[X^2]$ [/mm] nicht hinkriegst.
Wenn du obige Formel bewiesen hast, dann folgt fuer $r=1$: [mm] $\operatorname{E}[X]=np$.
[/mm]
Fuer $r=2$ folgt [mm] $n(n-1)p^2=\operatorname{E}[X(X-1)]=\operatorname{E}[X^2-X]= \operatorname{E}[X^2]-\operatorname{E}[X]=\operatorname{E}[X^2]-np$. [/mm] Also ist
[mm] $\operatorname{E}[X^2]=n(n-1)p^2+np$.
[/mm]
Erlaube mir eine Anmerkung: Du beschreibst dich selbst als Mathematikerin im GS.
Ich finde, dann musst du auch mal beissen...
lg Luis
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Ich beisse die ganze Zeit, da mich meine Übungsgruppe im Stich lässt. Wir schreiben alle Mittwoch eine ziemlich schwere Klausur und daher habe ich kaum Zeit mich darum zu kümmern,aber bevor ich das so mache wie meine Übungsgruppenteilnehmer und sage ich mache nichts,versuche ich gerade beides unter einem Hut zu bringen,da wir die Punkte unbedingt brauchen. Und da ich mit meinen Gedanken zwischen der für mich sehr wichtigen Klausur(wenn ich nämlich durchfalle,heißt es in die mündliche Prüfung zu gehen)und den Matheaufgaben hinundhergerissen bin, komme ich damit einfach nicht klar und bin teilweise mehr als überfordert. Sonst mache ich immer alles alleine und ich glaub du kannst auch sehen das es sich hier um mein aller ersten Post handelt.
Ich werde die Aufgabe nun auch nicht abgeben,den Beweis und die anderen Rechnungen schaffe ich leider nicht mehr,da ich mich nun nur noch auf meine Klausur konzentrieren muss.
Ich bedanke mich trotzdem ganz herzlich 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Mo 03.12.2007 | | Autor: | Blech |
Ich hatte oben das Schema ja schon hingeschrieben, mit dem man die Aufgabe rekursiv lösen kann. luis' Formel ist das gleiche in grün.
Ich verstehe ja, daß Du viel zu tun hast, aber eine minimale Eigenleistung muß schon sein; wir sind hier keine Lösungsfabrik.
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Ich kann verstehen, dass das hier keine Lösungsfabrik ist, wäre auch traurig wenn. Ich muss aber leider zugeben, dass mich dieser Stress dazugeführt hat, um auf die Lösung zu hoffen, da ich die anderen drei Aufgaben auch gemacht habe und meine anderen Teilnehmer nicht, so dass ich schon ein großen Zeitverlust durch die anderen drei Aufgaben hatte. Würde ich die Punkte nicht so dringend brauchen,hätte ich diese Aufgabe auch nicht gepostet, da ich ja die anderen drei habe, aber ich gehe stark davon aus das diese nicht alle richtig sind und ich unbedingt jeden Punkt zur Klausurzulassung brauche. Naja sorry und trotzdem vielen Dank!!!!!!!Kann ich euch nicht hoch genug anrechen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Mi 05.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Mi 05.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Mi 05.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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