n-te Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 So 20.01.2013 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | Wir sollen die n-te Ableitung der folgenden Funktion
[mm] f(x)=x^t, t\in \IR [/mm] fest, für [mm] x\in \IR_+ [/mm] und [mm] t\in \IN_{0} [/mm]
bestimmen. |
Ich habe mir zunächst einmal die ersten drei Ableitungen hingeschrieben
[mm] f^1(x)=tx^{t-1}
[/mm]
[mm] f^2(x)=t(t-1)x^{t-2}
[/mm]
[mm] f^3(x)=t(t-1)(t-2)^{t-3}
[/mm]
nun wollte ich [mm] f^n [/mm] bestimmen
[mm] f^n(x)= [/mm] ?t [mm] x^{t-n}
[/mm]
Nur weiss ich noch nicht so recht, welchen Faktor ich an der Stelle (?) schreiben muss damit es hinhaut.
Denn ich muss ja immer der Exponenten der jeweiligen Ableitung vor das t schreiben.
Ich dachte zunächst an Fakultäten, doch irgendwie haut das alles nicht hin.
Kann mir jemand weiterhelfen ?
Mfg. Lé Frog
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 So 20.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wir sollen die n-te Ableitung der folgenden Funktion
>
> [mm]f(x)=x^t, t\in \IR[/mm] fest, für [mm]x\in \IR_+[/mm] und [mm]t\in \IN_{0}[/mm]
>
> bestimmen.
> Ich habe mir zunächst einmal die ersten drei Ableitungen
> hingeschrieben
>
>
> [mm]f^1(x)=tx^{t-1}[/mm]
>
> [mm]f^2(x)=t(t-1)x^{t-2}[/mm]
>
> [mm]f^3(x)=t(t-1)(t-2)^{t-3}[/mm]
>
> nun wollte ich [mm]f^n[/mm] bestimmen
>
> [mm]f^n(x)=[/mm] ?t [mm]x^{t-n}[/mm]
>
> Nur weiss ich noch nicht so recht, welchen Faktor ich an
> der Stelle (?) schreiben muss damit es hinhaut.
>
> Denn ich muss ja immer der Exponenten der jeweiligen
> Ableitung vor das t schreiben.
> Ich dachte zunächst an Fakultäten, doch irgendwie haut
> das alles nicht hin.
Doch es haut hin.
>
> Kann mir jemand weiterhelfen ?
Nehmen wir mal t=3, also [mm] f(x)=x^3
[/mm]
[mm] f'(x)=3*x^2, [/mm] $f''(x)=2*3*x, f'''(x)= 2*3=1*2*3=3!$
FRED
> Mfg. Lé Frog
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 So 20.01.2013 | | Autor: | Frosch20 |
> > Wir sollen die n-te Ableitung der folgenden Funktion
> >
> > [mm]f(x)=x^t, t\in \IR[/mm] fest, für [mm]x\in \IR_+[/mm] und [mm]t\in \IN_{0}[/mm]
> >
> > bestimmen.
> > Ich habe mir zunächst einmal die ersten drei
> Ableitungen
> > hingeschrieben
> >
> >
> > [mm]f^1(x)=tx^{t-1}[/mm]
> >
> > [mm]f^2(x)=t(t-1)x^{t-2}[/mm]
> >
> > [mm]f^3(x)=t(t-1)(t-2)^{t-3}[/mm]
> >
> > nun wollte ich [mm]f^n[/mm] bestimmen
> >
> > [mm]f^n(x)=[/mm] ?t [mm]x^{t-n}[/mm]
> >
> > Nur weiss ich noch nicht so recht, welchen Faktor ich an
> > der Stelle (?) schreiben muss damit es hinhaut.
> >
> > Denn ich muss ja immer der Exponenten der jeweiligen
> > Ableitung vor das t schreiben.
> > Ich dachte zunächst an Fakultäten, doch irgendwie
> haut
> > das alles nicht hin.
>
> Doch es haut hin.
> >
> > Kann mir jemand weiterhelfen ?
>
> Nehmen wir mal t=3, also [mm]f(x)=x^3[/mm]
>
> [mm]f'(x)=3*x^2,[/mm] [mm]f''(x)=2*3*x, f'''(x)= 2*3=1*2*3=3![/mm]
>
>
> FRED
>
>
>
> > Mfg. Lé Frog
>
Naja ich hatte an sowas gedacht:
[mm] f^n(x)=n!*t*x^{t-n}
[/mm]
und das funktioniert nicht, denn für t=3
hab ich dann für
[mm] f^1(x)=3x^2 [/mm]
[mm] f^2(x)=2*3*x [/mm]
[mm] f^3(x)=3!*3=18
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 So 20.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Wir sollen die n-te Ableitung der folgenden Funktion
> > >
> > > [mm]f(x)=x^t, t\in \IR[/mm] fest, für [mm]x\in \IR_+[/mm] und [mm]t\in \IN_{0}[/mm]
> > >
> > > bestimmen.
> > > Ich habe mir zunächst einmal die ersten drei
> > Ableitungen
> > > hingeschrieben
> > >
> > >
> > > [mm]f^1(x)=tx^{t-1}[/mm]
> > >
> > > [mm]f^2(x)=t(t-1)x^{t-2}[/mm]
> > >
> > > [mm]f^3(x)=t(t-1)(t-2)^{t-3}[/mm]
> > >
> > > nun wollte ich [mm]f^n[/mm] bestimmen
> > >
> > > [mm]f^n(x)=[/mm] ?t [mm]x^{t-n}[/mm]
> > >
> > > Nur weiss ich noch nicht so recht, welchen Faktor ich an
> > > der Stelle (?) schreiben muss damit es hinhaut.
> > >
> > > Denn ich muss ja immer der Exponenten der jeweiligen
> > > Ableitung vor das t schreiben.
> > > Ich dachte zunächst an Fakultäten, doch irgendwie
> > haut
> > > das alles nicht hin.
> >
> > Doch es haut hin.
> > >
> > > Kann mir jemand weiterhelfen ?
> >
> > Nehmen wir mal t=3, also [mm]f(x)=x^3[/mm]
> >
> > [mm]f'(x)=3*x^2,[/mm] [mm]f''(x)=2*3*x, f'''(x)= 2*3=1*2*3=3![/mm]
> >
> >
> > FRED
> >
> >
> >
> > > Mfg. Lé Frog
> >
>
> Naja ich hatte an sowas gedacht:
>
> [mm]f^n(x)=n!*t*x^{t-n}[/mm]
>
> und das funktioniert nicht, denn für t=3
Aber das: [mm]f^{(n)}(x)=n!*x^{t-n}[/mm]
FRED
>
> hab ich dann für
>
> [mm]f^1(x)=3x^2[/mm]
>
> [mm]f^2(x)=2*3*x[/mm]
>
> [mm]f^3(x)=3!*3=18[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 So 20.01.2013 | | Autor: | Frosch20 |
> > > > Wir sollen die n-te Ableitung der folgenden Funktion
> > > >
> > > > [mm]f(x)=x^t, t\in \IR[/mm] fest, für [mm]x\in \IR_+[/mm] und [mm]t\in \IN_{0}[/mm]
> > > >
> > > > bestimmen.
> > > > Ich habe mir zunächst einmal die ersten drei
> > > Ableitungen
> > > > hingeschrieben
> > > >
> > > >
> > > > [mm]f^1(x)=tx^{t-1}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]f^2(x)=t(t-1)x^{t-2}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]f^3(x)=t(t-1)(t-2)^{t-3}[/mm]
> > > >
> > > > nun wollte ich [mm]f^n[/mm] bestimmen
> > > >
> > > > [mm]f^n(x)=[/mm] ?t [mm]x^{t-n}[/mm]
> > > >
> > > > Nur weiss ich noch nicht so recht, welchen Faktor ich an
> > > > der Stelle (?) schreiben muss damit es hinhaut.
> > > >
> > > > Denn ich muss ja immer der Exponenten der jeweiligen
> > > > Ableitung vor das t schreiben.
> > > > Ich dachte zunächst an Fakultäten, doch
> irgendwie
> > > haut
> > > > das alles nicht hin.
> > >
> > > Doch es haut hin.
> > > >
> > > > Kann mir jemand weiterhelfen ?
> > >
> > > Nehmen wir mal t=3, also [mm]f(x)=x^3[/mm]
> > >
> > > [mm]f'(x)=3*x^2,[/mm] [mm]f''(x)=2*3*x, f'''(x)= 2*3=1*2*3=3![/mm]
> > >
>
> > >
> > > FRED
> > >
> > >
> > >
> > > > Mfg. Lé Frog
> > >
> >
> > Naja ich hatte an sowas gedacht:
> >
> > [mm]f^n(x)=n!*t*x^{t-n}[/mm]
> >
> > und das funktioniert nicht, denn für t=3
>
>
> Aber das: [mm]f^{(n)}(x)=n!*x^{t-n}[/mm]
>
Dann würde ich aber für t=3
[mm] f^1(x)=x^{2} [/mm] erhalten
> FRED
> >
> > hab ich dann für
> >
> > [mm]f^1(x)=3x^2[/mm]
> >
> > [mm]f^2(x)=2*3*x[/mm]
> >
> > [mm]f^3(x)=3!*3=18[/mm]
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 So 20.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> > > > > Wir sollen die n-te Ableitung der folgenden Funktion
> > > > >
> > > > > [mm]f(x)=x^t, t\in \IR[/mm] fest, für [mm]x\in \IR_+[/mm] und [mm]t\in \IN_{0}[/mm]
> > > > >
> > > > > bestimmen.
> > > > > Ich habe mir zunächst einmal die ersten drei
> > > > Ableitungen
> > > > > hingeschrieben
> > > > >
> > > > >
> > > > > [mm]f^1(x)=tx^{t-1}[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]f^2(x)=t(t-1)x^{t-2}[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]f^3(x)=t(t-1)(t-2)^{t-3}[/mm]
> > > > >
> > > > > nun wollte ich [mm]f^n[/mm] bestimmen
> > > > >
> > > > > [mm]f^n(x)=[/mm] ?t [mm]x^{t-n}[/mm]
> > > > >
> > > > > Nur weiss ich noch nicht so recht, welchen Faktor ich an
> > > > > der Stelle (?) schreiben muss damit es hinhaut.
> > > > >
> > > > > Denn ich muss ja immer der Exponenten der jeweiligen
> > > > > Ableitung vor das t schreiben.
> > > > > Ich dachte zunächst an Fakultäten, doch
> > irgendwie
> > > > haut
> > > > > das alles nicht hin.
> > > >
> > > > Doch es haut hin.
> > > > >
> > > > > Kann mir jemand weiterhelfen ?
> > > >
> > > > Nehmen wir mal t=3, also [mm]f(x)=x^3[/mm]
> > > >
> > > > [mm]f'(x)=3*x^2,[/mm] [mm]f''(x)=2*3*x, f'''(x)= 2*3=1*2*3=3![/mm]
> >
> > >
> >
> > > >
> > > > FRED
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > > Mfg. Lé Frog
> > > >
> > >
> > > Naja ich hatte an sowas gedacht:
> > >
> > > [mm]f^n(x)=n!*t*x^{t-n}[/mm]
> > >
> > > und das funktioniert nicht, denn für t=3
> >
> >
> > Aber das: [mm]f^{(n)}(x)=n!*x^{t-n}[/mm]
> >
> Dann würde ich aber für t=3
>
> [mm]f^1(x)=x^{2}[/mm] erhalten
>
> > FRED
> > >
> > > hab ich dann für
> > >
> > > [mm]f^1(x)=3x^2[/mm]
> > >
> > > [mm]f^2(x)=2*3*x[/mm]
> > >
> > > [mm]f^3(x)=3!*3=18[/mm]
> > >
> >
>
Mit der Fakultät klappt es tatsächlich nur für [mm] $t\in\IN$ [/mm] und [mm] $f^{(t)}(x)\,:$
[/mm]
[mm] $f^{(t)}(x)=t!.
[/mm]
Allgemein ergibt sich:
[mm] $f^{(n)}(x) =\prod_{k=0}^{n-1}(t-k) *x^{t-n}\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 So 20.01.2013 | | Autor: | Frosch20 |
> > > > > > Wir sollen die n-te Ableitung der folgenden Funktion
> > > > > >
> > > > > > [mm]f(x)=x^t, t\in \IR[/mm] fest, für [mm]x\in \IR_+[/mm] und [mm]t\in \IN_{0}[/mm]
> > > > > >
> > > > > > bestimmen.
> > > > > > Ich habe mir zunächst einmal die ersten
> drei
> > > > > Ableitungen
> > > > > > hingeschrieben
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > [mm]f^1(x)=tx^{t-1}[/mm]
> > > > > >
> > > > > > [mm]f^2(x)=t(t-1)x^{t-2}[/mm]
> > > > > >
> > > > > > [mm]f^3(x)=t(t-1)(t-2)^{t-3}[/mm]
> > > > > >
> > > > > > nun wollte ich [mm]f^n[/mm] bestimmen
> > > > > >
> > > > > > [mm]f^n(x)=[/mm] ?t [mm]x^{t-n}[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Nur weiss ich noch nicht so recht, welchen Faktor ich an
> > > > > > der Stelle (?) schreiben muss damit es hinhaut.
> > > > > >
> > > > > > Denn ich muss ja immer der Exponenten der jeweiligen
> > > > > > Ableitung vor das t schreiben.
> > > > > > Ich dachte zunächst an Fakultäten, doch
> > > irgendwie
> > > > > haut
> > > > > > das alles nicht hin.
> > > > >
> > > > > Doch es haut hin.
> > > > > >
> > > > > > Kann mir jemand weiterhelfen ?
> > > > >
> > > > > Nehmen wir mal t=3, also [mm]f(x)=x^3[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]f'(x)=3*x^2,[/mm] [mm]f''(x)=2*3*x, f'''(x)= 2*3=1*2*3=3![/mm]
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> > > > > FRED
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> > > > > > Mfg. Lé Frog
> > > > >
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> > > > Naja ich hatte an sowas gedacht:
> > > >
> > > > [mm]f^n(x)=n!*t*x^{t-n}[/mm]
> > > >
> > > > und das funktioniert nicht, denn für t=3
> > >
> > >
> > > Aber das: [mm]f^{(n)}(x)=n!*x^{t-n}[/mm]
> > >
> > Dann würde ich aber für t=3
> >
> > [mm]f^1(x)=x^{2}[/mm] erhalten
> >
> > > FRED
> > > >
> > > > hab ich dann für
> > > >
> > > > [mm]f^1(x)=3x^2[/mm]
> > > >
> > > > [mm]f^2(x)=2*3*x[/mm]
> > > >
> > > > [mm]f^3(x)=3!*3=18[/mm]
> > > >
> > >
> >
>
> Mit der Fakultät klappt es tatsächlich nur für [mm]t\in\IN[/mm]
> und [mm]f^{(t)}(x)\,:[/mm]
> [mm]$f^{(t)}(x)=t!.[/mm]
>
> Allgemein ergibt sich:
>
> [mm]f^{(n)}(x) =\prod_{k=0}^{n-1}(t-k) *x^{t-n}\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Wolfgang
Jup so haut´s hin vielen dank.
Was wäre denn wenn [mm] t\in\IR\backslash\IN_{0} [/mm] ?
Also das es mit den fakultäten dann nicht mehr hinhaut sehe ich ein, aber kann man dass dann überhaupt irgendwie lösen ?
Die zahlen können dann ja immerhin auch negativ werden
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> > Allgemein ergibt sich:
> >
> > [mm]f^{(n)}(x) =\prod_{k=0}^{n-1}(t-k) *x^{t-n}\,.[/mm]
> Was wäre denn wenn [mm]t\in\IR\backslash\IN_{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
?
>
> Also das es mit den fakultäten dann nicht mehr hinhaut
> sehe ich ein, aber kann man dass dann überhaupt irgendwie
> lösen ?
> Die zahlen können dann ja immerhin auch negativ werden
Stimmt. Nimm z. B. $t=1/2\,.$ So weit ich weiß, hat sich für das Produkt alleine keine spezielle Bezeichnung eingebürgert. Aber es ist der Zähler von ${t \choose n}\,.$ Damit ist für alle $t\in\IR\,:$
$f^{(n)}(x) = n!{t\choose n} x^{t-n}}\,.$
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 So 20.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Pardon, ich bin mit t und n durcheinander gekommen.
Wolfgang hat geschrieben, wie es korrekt lautet.
FRED
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