n-faches Bernoulli-Experiment < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 So 10.07.2011 | | Autor: | dy7 |
| Aufgabe | a) Betrachten Sie ein n-faches Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p =
1/3. Wie groß muss n mindestens sein, damit die relative Häufi gkeit der Erfolge mit
einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,95 betragsmäßig um nicht mehr als 0,01
von p abweicht? Verwenden Sie hier die Chebychev-Ungleichung!
(Hinweis: Die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der Erfolge des n-Fachen Bernoulli-
Experiments. Die relative Häufi gkeit der Erfolge ist somit Xn = X / n.
Gesucht wird
das kleinste n für das gilt P(|Xn - p | < 0. 01) > 0. 95)
b) Lösen Sie die Aufgabe erneut für die Erfolgswahrscheinlichkeit p = 2/3. Benutzen Sie diesmal die Näherung des Satzes von Moivre-Laplace. |
Meine Frage hier ist.
Ich habe diese Hinweise zwar gegebn aber ich weiß einfach nicht wie ich auf das n komme.
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Mo 11.07.2011 | | Autor: | dormant |
Hi,
zunächst mal klar machen was passiert.
Wir nehmen an, dass jeder Versuch [mm] B_i [/mm] ist ein Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p=1/3 ist.
Die Summe der ersten n Versuche [mm] X_n [/mm] := [mm] \sum_i^n B_{i=1} [/mm] hat somit eine Binomial-Verteilung (googlen!). Das hat einen Mittelwert von pn.
Die relative Häufigkeit (Freqenz, deshalb F) ist definiert als die mittlere Anzahl der Erfolge pro Versuch, d.h. sie ist gegeben durch:
[mm] F_n:= \bruch{\sum_i^n B_i }{n}.
[/mm]
Nun hat [mm] F_n [/mm] einen Mittelwert von [mm] \bruch{np}{n}=p [/mm] und eine Standardabweichung von [mm] \wurzel{\bruch{p(1-p)}{n}} [/mm] (nachrechnen!).
Gefragt wird nach dem kleinsten n, s.d.
[mm] \IP(|F_n-p|<0,01)>0,95.
[/mm]
Es wird auch auf die Chebishev-Ungleichung hingewiesen. Diese besagt, dass für eine Zufallsvariable Y, deren Erwartungswert (=Mittelwert) [mm] \mu [/mm] ist, und deren Varianz [mm] \sigma^2 [/mm] eindlich ist, Folgendes gilt:
[mm] \IP(|Y-\mu|\ge k\sigma)\le\bruch{1}{k^2}
[/mm]
für jede Konstante k.
Mit einer Umformung (nachdenken, machen!) kann man die Chebishev-Ungleichung auch so schreiben:
[mm] \IP(|Y-\mu|1-\bruch{1}{k^2},
[/mm]
was auch die Form ist, die wir brauchen. Einsetzen, ausrechnen.
Grüße,
dormant
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