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Hallo,
ich habe diese Reihe hier:
[mm] \bruch{2^n*n!}{n^n}
[/mm]
Ich habe ein großes Problem damit, denn wenn ich nun das Quotientenkriterium anwende, weiß ich nicht, wie ich den Bruch auflöse :(
ich habe
[mm] \bruch{2^{n+1}*(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} [/mm] * [mm] \bruch{n^n}{2^n*n!}
[/mm]
Kann mir jemand weiterhelfen?
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Hallo Englein,
> Hallo,
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> ich habe diese Reihe hier:
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> [mm]\bruch{2^n*n!}{n^n}[/mm]
Welche Reihe? Ich sehe nur einen Bruch, der da isoliert in der Weltgeschichte herumsteht.
Aber das Thema hatten wir schon, schreibe Reihen hin, wenn du welche meinst!
>
> Ich habe ein großes Problem damit, denn wenn ich nun das
> Quotientenkriterium anwende, weiß ich nicht, wie ich den
> Bruch auflöse :(
>
> ich habe
>
> [mm]\bruch{2^{n+1}*(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}[/mm] * [mm]\bruch{n^n}{2^n*n!}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Zerlege die Fakultät gem. der Regel [mm] $(n+1)!=(n+1)\cdot{}n!$ [/mm] und schreibe gem. Potenzgesetz [mm] $2^{n+1}=2\cdot{}2^n$ [/mm] bzw. [mm] $(n+1)^{n+1}=(n+1)\cdot{}(n+1)^n$
[/mm]
Dann kürzt sich das meiste weg.
Den Rest, der bleibt, musst du "geschickt" zusammenfassen, dann siehst du den GW für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?
LG
schachuzipus
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Dann bleibt doch aber nur noch
[mm] \bruch{2n^n}{(n+1)^n} [/mm] oder? Ich hätte dann umgeformt zu [mm] (\bruch{2n}{(n+1)})^n [/mm] und hätte am Ende nur noch [mm] 2^n [/mm] stehen, aber das kann nicht stimmen. Habe ich falsch gekürzt? Ich sehe den Fehler nicht.
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Hallo nochmal,
> Dann bleibt doch aber nur noch
>
> [mm]\bruch{2n^n}{(n+1)^n}[/mm] oder?
Ja!
> Ich hätte dann umgeformt zu
> [mm](\bruch{2n}{(n+1)})^n[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da steht ja nicht [mm] 2^n, [/mm] sondern nur 2!
Schreibe es als [mm] $\frac{2n^n}{(n+1)^n}=2\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=2\cdot{}\left(\frac{n\red{+1-1}}{n+1}\right)^n=2\cdot{}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n$
[/mm]
Und wogegen strebt das nun für [mm] $n\to\infty$ [/mm] ?
> und hätte am Ende nur noch [mm]2^n[/mm]
> stehen, aber das kann nicht stimmen. Habe ich falsch
> gekürzt? Ich sehe den Fehler nicht.
Der lag im Zusammenfassen des (richtig) gekürzten Ausdrucks!
LG
schachuzipus
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> Hallo nochmal,
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> > Dann bleibt doch aber nur noch
> >
> > [mm]\bruch{2n^n}{(n+1)^n}[/mm] oder?
>
> Ja!
>
> > Ich hätte dann umgeformt zu
> > [mm](\bruch{2n}{(n+1)})^n[/mm]
>
> Da steht ja nicht [mm]2^n,[/mm] sondern nur 2!
>
> Schreibe es als
> [mm]\frac{2n^n}{(n+1)^n}=2\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=2\cdot{}\left(\frac{n\red{+1-1}}{n+1}\right)^n=2\cdot{}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n[/mm]
>
> Und wogegen strebt das nun für [mm]n\to\infty[/mm] ?
>
Ich hätte jetzt den mit +1-1 erweiterten Bruch so umgeformt, dass ich n ausgeklammert hätte. Dann hätte ich aber nur noch [mm] 1^n [/mm] da stehen, das kanns ja auch nicht sein, aber wieso nicht?
Wie du auf die letzte Umformung kommst, sehe ich leider nicht. Und vor allem, wogegen das nun streben soll, zumal die Lösung mir 2/e sagt.
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Hallo nochmal,
> > Hallo nochmal,
> >
> > > Dann bleibt doch aber nur noch
> > >
> > > [mm]\bruch{2n^n}{(n+1)^n}[/mm] oder?
> >
> > Ja!
> >
> > > Ich hätte dann umgeformt zu
> > > [mm](\bruch{2n}{(n+1)})^n[/mm]
> >
> > Da steht ja nicht [mm]2^n,[/mm] sondern nur 2!
> >
> > Schreibe es als
> >
> [mm]\frac{2n^n}{(n+1)^n}=2\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=2\cdot{}\left(\frac{n\red{+1-1}}{n+1}\right)^n=2\cdot{}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n[/mm]
> >
> > Und wogegen strebt das nun für [mm]n\to\infty[/mm] ?
> >
>
> Ich hätte jetzt den mit +1-1 erweiterten Bruch so
> umgeformt, dass ich n ausgeklammert hätte. Dann hätte ich
> aber nur noch [mm]1^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
da stehen, das kanns ja auch nicht sein,
> aber wieso nicht?
>
> Wie du auf die letzte Umformung kommst, sehe ich leider
> nicht.
Ein Zwischenschritt:
$2\cdot{}\left(\frac{n\red{+1-1}}{n+1}\right)^n=2\cdot{}\left(\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}}\right)^n=2\cdot{}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n$
> Und vor allem, wogegen das nun streben soll, zumal
> die Lösung mir 2/e sagt.
ja, ich sage nichts Gegenteiliges
Na, die Folge $\left(1+\frac{a}{n}\right)^n$ solltest du kennen und ihren GW für $n\to\infty$, nämlich $e^{a}$ ...
LG
schachuzipus
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HI.
Also ich würde hier bei [mm] \bruch{2n^{n}}{(n+1)^{n}} [/mm] weiter machen.
Versuch doch mal [mm] n^{n} [/mm] auszuklammern. Dann müsstest du auf [mm] \bruch{2}{e} [/mm] kommen.
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Dann hätte ich doch im Zähler 1, aber was im Nenner? Das ist doch eine binomische Formel, da kann ich doch nicht einfach [mm] n^n [/mm] ausklammern?
Irgendwie tu ich mir grad schwer.
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Hallo Englein,
es war als Alternative zu meiner Umformung gedacht
[mm] $\frac{2n^n}{(n+1)^n}=\frac{2n^n}{\left[n\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]^n}=\frac{2n^n}{n^n\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{2}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$
[/mm]
Und das musst du wiedererkennen, wogegen strebt das für [mm] $n\to\infty$ [/mm] ?
LG
schachuzipus
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$ [mm] \frac{2n^n}{(n+1)^n}=\frac{2n^n}{\left[n\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]^n}=\frac{2n^n}{n^n\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{2}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} [/mm] $
Ist der letzte Nenner eine andere Schreibweise für e?
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Hallo nochmal,
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> [mm]\frac{2n^n}{(n+1)^n}=\frac{2n^n}{\left[n\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]^n}=\frac{2n^n}{n^n\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{2}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}[/mm]
>
> Ist der letzte Nenner eine andere Schreibweise für e?
Nein, aber das ist die Folge, die für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen e konvergiert
Und schließlich musst du mit dem QK ja den [mm] $\red{\lim\limits_{n\to\infty}}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ [/mm] untersuchen
LG
schachuzipus
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Hallo Englein,
Mache dir zuerst klar, ob du wirklich eine Reihe
(Summe !) oder einfach eine Zahlenfolge hast.
Der angegebene Term erinnert an die ![[]](/images/popup.gif) Stirling-Formel
die eventuell für die Umformung nützlich sein könnte.
LG
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