(n+1 über k+1) Beweis < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:27 Do 02.06.2011 | | Autor: | Dego |
| Aufgabe | [mm] \vektor{n+1 \\ k+1}= \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k+1}
[/mm]
-> [mm] \bruch{(n+1)!}{((n+1)-(k+1))!\times(k+1)!}= \bruch{n!}{(n-k)!\times k!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(n-(k+1))!\times(k+1)!} [/mm] |
Liebe Leute,
ersteinmal ein nettes Hallo in die Runde.
Wir haben die obige Gleichung von unserem Lehrer bekommen, die wir beweisen sollen. Er hat betont, dass es schwer wird.
Das stimmt auch, jedenfalls für mich.
Ich habe den ersten Schritt geschafft, doch weiter weiß ich auch nicht.
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß,
Dennis
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> [mm]\vektor{n+1 \\ k+1}= \vektor{n \\ k}[/mm] + [mm]\vektor{n \\ k+1}[/mm]
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> -> [mm]\bruch{(n+1)!}{((n+1)-(k+1))!\times(k+1)!}= \bruch{n!}{(n-k)!\times k!}\ +\ \bruch{n!}{(n-(k+1))!\times(k+1)!}[/mm]
> Liebe Leute,
>
> ersteinmal ein nettes Hallo in die Runde.
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> Wir haben die obige Gleichung von unserem Lehrer bekommen,
> die wir beweisen sollen. Er hat betont, dass es schwer
> wird.
> Das stimmt auch, jedenfalls für mich.
Hallo Dennis, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
wenn man die Gleichung rein algebraisch durch Umformen
beweisen will, gibt es natürlich einiges zu tun. Die Idee ist
aber recht einfach: Brüche addiert man, indem man sie
zunächst einmal auf gleichen Nenner bringt. Wie das im
Einzelnen hier gehen muss, siehst du wohl am besten,
wenn du zuerst ein ganz konkretes Beispiel machst.
Etwa mit n=8 und k=3 hätte man auf der rechten Seite
der Gleichung die Summe
$\ [mm] \pmat{8\\3}+\pmat{8\\4}\ [/mm] =\ [mm] \frac{8\,!}{3\,!*5\,!}\ [/mm] +\ [mm] \frac{8\,!}{4\,!*4\,!}$
[/mm]
Als gemeinsamer Nenner (kgV) bietet sich an: [mm] 4\,!*5\,!
[/mm]
Das heißt, dass man den ersten Bruch mit 4 (also k+1)
und den zweiten mit 5 (also n-k) erweitern soll. Führe
dies und die darauffolgende Addition und Vereinfachung
zuerst am Beispiel und dann an der zu zeigenden allge-
meinen Gleichung durch !
LG Al-Chw.
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