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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass Q[Wurzel 2] := {a + (b Wurzel 2) | a,b € Q} zusammen mit den Verknüpfungen
+ : Q[Wurzel 2] x Q[Wurzel 2] --> Q[Wurzel 2], (a+ (b Wurzel 2), c+(d Wurzel 2) ) --> (a + c) + (b + d) Wurzel 2
* : Q[Wurzel 2] x Q[Wurzel 2] --> Q[Wurzel 2], (a+ (b Wurzel 2), c+(d Wurzel 2) ) --> (ac + 2bd) + (ad + bc) Wurzel 2
ein Körper ist (Hinweis: Zur Bestimmung des Inversen, denken Sie an die dritte binomische Formel sowie das Erweitern von Brüchen.) |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?p=2685048624#post2685048624
Ich habe alles durch um zu Zeigen dass Q ein Körper ist, mir fehlt nur noch das Inverse bei der Multiplikation. Der Hinweis in der Aufgabenstellung hilft mir leider nicht viel weiter. Durch herumprobieren komme ich einfach nciht auf das Ergebnis drauf =( Hat jemand einen Tipp für mich?
Vielen Dank schonmal im Vorraus =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass Q[Wurzel 2] := {a + (b Wurzel 2) | a,b €
> Q} zusammen mit den Verknüpfungen
> + : Q[Wurzel 2] x Q[Wurzel 2] --> Q[Wurzel 2], (a+ (b
> Wurzel 2), c+(d Wurzel 2) ) --> (a + c) + (b + d) Wurzel 2
>
> * : Q[Wurzel 2] x Q[Wurzel 2] --> Q[Wurzel 2], (a+ (b
> Wurzel 2), c+(d Wurzel 2) ) --> (ac + 2bd) + (ad + bc)
> Wurzel 2
benutze doch bitte den Formeleditor - die Multiplikation interessiert für
untiges noch, dacher
$* [mm] \colon \IQ[\sqrt{2}] \times \IQ[\sqrt{2}] \to \IQ[\sqrt{2}]$ [/mm] ist definiert
durch
[mm] $(\*)$ $(a+b\sqrt{2})*(c+d\sqrt{2}):=ac+2bd+(ad+bc)*\sqrt{2}\,.$
[/mm]
> ein Körper ist (Hinweis: Zur Bestimmung des Inversen,
> denken Sie an die dritte binomische Formel sowie das
> Erweitern von Brüchen.)
So, sei also [mm] $(a+b\sqrt{2})$ [/mm] aus [mm] $\IQ[\sqrt{2}]$ [/mm] nicht die additive Null. Du wirst sicher nachgerechnet
haben, dass [mm] $1=1+0*\sqrt{2}$ [/mm] das neutrale Element der Addition ist. Daher
suchst Du nun - ein hoffentlich existierendes (und dann eindeutig
bestimmtes) - Element
[mm] $(c+d\sqrt{2}) \in \IQ[\sqrt{2}]$
[/mm]
mit
[mm] $(a+b\sqrt{2})*(c+d\sqrt{2})=1\,.$
[/mm]
Dabei muss insbesondere $c,d [mm] \in \IQ$ [/mm] sein.
Wenn Du auf [mm] $(\*)$ [/mm] guckst, so solltest Du Dir klarmachen, dass daher die beiden
Gleichungen
(I) [mm] $ac+2bd=1\,$
[/mm]
und
(II) [mm] $ad+bc=0\,$
[/mm]
zu lösen sind - bedenke dabei:
Du willst sie in den Variablen $c,d [mm] \in \IQ$ [/mm] lösen, und $a,b [mm] \in \IQ$ [/mm] sind dabei
als "fest" (Parameter) zu betrachten.
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Eine zweite Möglichkeit:
Bringe für $a,b [mm] \in \IQ\,,$ $a+b\sqrt{2} \not=0$ [/mm] den Ausdruck
[mm] $\frac{1}{a+b\sqrt{2}}$
[/mm]
in eine Form
[mm] $c+d\sqrt{2}$
[/mm]
und lies [mm] $c,d\,$ [/mm] ab (Frage: Warum funktioniert das denn überhaupt so?):
[mm] $\frac{1}{a+b\sqrt{2}}=\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}=\underbrace{\frac{a}{a^2-2b^2}}_{=c}+\underbrace{\frac{-b}{a^2-2b^2}}_{=d}*\sqrt{2}\,.$
[/mm]
Siehst Du nun die multiplikative Inverse? (Fragen: Wieso gilt [mm] $a^2-2b^2 \not=0$? [/mm]
Wieso ist [mm] $a/(a^2-2b^2) \in \IQ$ [/mm] und auch [mm] $-b/(a^2-2b^2) \in \IQ$?)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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so habe ich es verstanden =) Vielen Dank für die schnelle gute Hilfe vor allem um die Uhrzeit =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:36 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> so habe ich es verstanden =)
wirklich verstanden (ich frage nochmal, weil Du in dem Chemieforum ja
kurz vorher nochmal nachgefragt hattest, und es Dir da noch unklar war).
> Vielen Dank für die schnelle
> gute Hilfe vor allem um die Uhrzeit =)
Gerne - aber, falls doch noch was unklar sein sollte: Lieber nochmal
nachfragen (übrigens ist die Frage, warum [mm] $a^2-2b^2 \not=0$ [/mm] ist, und das
ist durchaus nicht unwichtig, noch nicht von Dir beantwortet worden).
Gruß,
Marcel
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