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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 So 22.12.2013 | | Autor: | lol13 |
| Aufgabe | Hallo,
in der Volresung haben wir uns mit komplexen Zahlen beschäftigt. Als wir das behauptete multiplikative Inverse überprüfen wollten, sind wir in einem Zwischenschritt auf Folgendes gekommen:
[mm] (a^2-b^2)/(a^2+b^2) [/mm] = 1 |
Sind in diesem Schritt die Komplexen Zahlen überhaupt notwendig zu berücksichtigen?
Ich habe mir bisher folgendes überlegt: [mm] (a^2-b^2)/(a^2+b^2) [/mm] = ((a+b)(a-b))/((a+bi)(a-bi))
Hier komme ich dann aber nicht weiter.
Danke für eure Hilfe
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> Hallo,
> in der Volresung haben wir uns mit komplexen Zahlen
> beschäftigt. Als wir das behauptete multiplikative Inverse
> überprüfen wollten,
Hallo,
Du würdest unsere hellseherischen Kräfte nicht so arg strapazieren, wenn Du uns sagen würdest, zu welcher Zahl ihr von welcher Zahl zeigen wolltet, daß sie das Inverse der ersten ist.
Nun gut, ich rate mal munter drauflos:
Sei z:=a+bi mit [mm] (a,b)\not=(0,0)
[/mm]
Beh.:
es ist das multiplikative Inverse von z, also [mm] (a+bi)^{-1}=\bruch{a-bi}{a^2+b^2}.
[/mm]
Bew.:
[mm] (a+bi)*\bruch{a-bi}{a^2+b^2}= [/mm] ... =...=...=1
> sind wir in einem Zwischenschritt auf
> Folgendes gekommen:
> [mm](a^2-b^2)/(a^2+b^2)[/mm] = 1
Bzgl. dieses Zischenschrittes habe ich Zweifel - aber ich kenne die Aufgabenstellung ja gar nicht...
> Sind in diesem Schritt die Komplexen Zahlen überhaupt
> notwendig zu berücksichtigen?
??? a,b werden wohl reelle Zahlen sein.
Ich denke, daß vorher komplexe Zahlen im Spiel waren, oder daß sie später im Spiel sein werden.
>
> Ich habe mir bisher folgendes überlegt:
> [mm](a^2-b^2)/(a^2+b^2)[/mm] = ((a+b)(a-b))/((a+bi)(a-bi))
Diese Umformung ist richtig.
>
>
> Hier komme ich dann aber nicht weiter.
Ich weiß nicht, wo Du startest und wo Du hinwillst.
LG Angela
> Danke für eure Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mo 23.12.2013 | | Autor: | lol13 |
Hallo, ich versuche mal in Bildausschnitt aus meiner Mitschrift der Vorlesung hochzuladen. Es geht dabei um den Beweis, und zwar um die oben erwähnte Vereinfachung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hilft es vielleicht jetzt mehr?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Mo 23.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo, ich versuche mal in Bildausschnitt aus meiner
> Mitschrift der Vorlesung hochzuladen. Es geht dabei um den
> Beweis, und zwar um die oben erwähnte Vereinfachung:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Hilft es vielleicht jetzt mehr?
Das hilft in der Tat weiter.
Du sollst also zeigen, dass [mm] $z^{-1}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{-b}{a^{2}+b^{2}}\cdot [/mm] i$ das multiplikative Inverse zu [mm] $z=a+b\cdot [/mm] i$ ist,
Du musst also zeigen, dass [mm] $z\cdot z^{1}=1$
[/mm]
1 ist dabei das einselement des Körpers, hier in [mm] \IC [/mm] also [mm] $1=1+0\cdot [/mm] i$
Du musst also zeigen, dass [mm] $(a+b\cdot i)\cdot\left(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{-b}{a^{2}+b^{2}}\cdot i\right)=1+0\cdot [/mm] i$
Dazu brauchst du nur die übliche Multiplikation in [mm] \IC
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Mo 23.12.2013 | | Autor: | lol13 |
trotzdem verstehe ich dann nicht, warum [mm] ((a^2-b^2)/(a^2+b^2)) [/mm] = 1 ist...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Mo 23.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
> trotzdem verstehe ich dann nicht, warum
> [mm]((a^2-b^2)/(a^2+b^2))[/mm] = 1 ist...
Das stimmt ja im allgemeinen auch nicht, aber du hast das das i in der Rechnung vergessen
Du muss zeigen, dass
[mm] (a+b\cdot i)\cdot\left(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\cdot i\right)=1
[/mm]
Also
[mm] (a+b\cdot i)\cdot\left(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\cdot i\right)
[/mm]
[mm] =\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{abi}{a^{2}+b^{2}}-\frac{abi}{a^{2}+b^{2}}-\frac{(bi)^{2}}{a^{2}+b^{2}}
[/mm]
Nun wieder du.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mo 23.12.2013 | | Autor: | lol13 |
danke für deine Erklärungen. Das mit dem i ist schon klar, allerdings haben wir an dieser stelle das i noch nicht eingeführt gehabt. Ich schicke mal noch einen Ausschnitt aus meiner Mitschrift direkt davor:
[Dateianhang nicht öffentlich]
hier haben wir zunächst eine Multiplikation ohne i definiert
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
berechnet werden soll
[mm] (a,b)\cdot\left(\frac{a}{a^{2}+b^{2}},\frac{-b}{a^{2}+b^{2}}\right).
[/mm]
Nun nehmen wir Deine Vorschrift für die Multiplikation und bekommen
[mm] (a,b)\cdot\left(\frac{a}{a^{2}+b^{2}},\frac{-b}{a^{2}+b^{2}}\right)
[/mm]
[mm] =\left(a*\frac{a}{a^{2}+b^{2}}-b*(\frac{-b}{a^{2}+b^{2}}),a*\frac{-b}{a^{2}+b^{2}}+a*\frac{a}{a^{2}+b^{2}}*b\right)
[/mm]
[mm] =\left(\frac{a^2\red{+}b^2}{a^{2}+b^{2}},0\right)=(1,0)
[/mm]
Alles gut, alles wunderbar.
In Deiner Vorlesung war halt ein falsches oder unleserliches Vorzeichen an der Tafel.
Frohes Fest!
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Mo 23.12.2013 | | Autor: | lol13 |
Vielen Dank, da habe ich an meine eigene Vorschrift nicht gedacht und das eine Minus vergessen :) Euch auch ein frohes Fest ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Mo 23.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo lol13,
> Vielen Dank, da habe ich an meine eigene Vorschrift nicht
> gedacht und das eine Minus vergessen :) Euch auch ein
> frohes Fest ;)
Das ist im wesentlichen meine weiter unten stehende Vermutung, nur dass Ihr für die gleiche Rechenweise eine andere Notation definiert habt.
So ein einzelnes Minus kann einem echt die ganze Rechnung versauen. 
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Mo 23.12.2013 | | Autor: | fred97 |
Ist $z=a+ib$ mit a,b [mm] \in \IR, [/mm] so folgt aus
$ [mm] (a^2-b^2)/(a^2+b^2) [/mm] $ = 1 , dass
[mm] a^2-b^2=a^2+b^2
[/mm]
ist, also ist [mm] b^2=0 [/mm] und damit b=0 und somit z [mm] \in \IR.
[/mm]
Mehr kann man Deinen spärlichen Informationen nicht entnehmen.
FRED
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Guten Morgen!
Wie schön, ein Ratespiel.
Da will ich doch auch die Chance auf den Hauptgewinn nutzen.
> Hallo,
> in der Volresung haben wir uns mit komplexen Zahlen
> beschäftigt. Als wir das behauptete multiplikative Inverse
> überprüfen wollten, sind wir in einem Zwischenschritt auf
> Folgendes gekommen:
> [mm](a^2-b^2)/(a^2+b^2)[/mm] = 1
> Sind in diesem Schritt die Komplexen Zahlen überhaupt
> notwendig zu berücksichtigen?
Aha. Es wurde behauptet, dass für [mm] z\not=0 [/mm] ein multiplikatives Inverses existiert.
Weiter wurde $z=a+bi$ angesetzt und dann behauptet, dass das multiplikativ Inverse so lautet: [mm] z^{-1}=\bruch{a-bi}{a^2+b^2}
[/mm]
Bemerkung: nun ist zwar [mm] z\in\IC, [/mm] aber [mm] a,b\in\IR.
[/mm]
Wir überprüfen die Behauptung:
[mm] zz^{-1}=(a+bi)*\bruch{a-bi}{a^2+b^2}=\bruch{a^2-(-b^2)}{a^2+b^2}=\cdots
[/mm]
Du hast da ein Minus zuwenig abgeschrieben, oder vielleicht ist auch einfach eins zuwenig angeschrieben worden. Das passiert schonmal im Eifer des Gefechts.
Vergleiche mal mit den Mitschriften von Kommilitonen.
Außerdem kannst Du uns ja mal ein größeres Stück Deiner Mitschrift abtippen, hier also die Voraussetzungen und wenigstens den Anfang der Rechnung bis zur fraglichen Stelle.
> Ich habe mir bisher folgendes überlegt:
> [mm](a^2-b^2)/(a^2+b^2)[/mm] = ((a+b)(a-b))/((a+bi)(a-bi))
Richtig, aber nutzlos.
> Hier komme ich dann aber nicht weiter.
> Danke für eure Hilfe
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:47 Mo 23.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen!
>
> Wie schön, ein Ratespiel.
> Da will ich doch auch die Chance auf den Hauptgewinn
> nutzen.
Hallo reverend,
Pech für die junge sympathische Mannschaft ! Den Hauptgewinn hab ich schon eingesackt.
Denn mehr als $z [mm] \in \IR$ [/mm] kann man aus
$ [mm] (a^2-b^2)/(a^2+b^2) [/mm] = 1$
nicht herausholen.
Gruß FRED
>
> > Hallo,
> > in der Volresung haben wir uns mit komplexen Zahlen
> > beschäftigt. Als wir das behauptete multiplikative Inverse
> > überprüfen wollten, sind wir in einem Zwischenschritt auf
> > Folgendes gekommen:
> > [mm](a^2-b^2)/(a^2+b^2)[/mm] = 1
> > Sind in diesem Schritt die Komplexen Zahlen überhaupt
> > notwendig zu berücksichtigen?
>
> Aha. Es wurde behauptet, dass für [mm]z\not=0[/mm] ein
> multiplikatives Inverses existiert.
> Weiter wurde [mm]z=a+bi[/mm] angesetzt und dann behauptet, dass das
> multiplikativ Inverse so lautet:
> [mm]z^{-1}=\bruch{a-bi}{a^2+b^2}[/mm]
>
> Bemerkung: nun ist zwar [mm]z\in\IC,[/mm] aber [mm]a,b\in\IR.[/mm]
>
> Wir überprüfen die Behauptung:
>
> [mm]zz^{-1}=(a+bi)*\bruch{a-bi}{a^2+b^2}=\bruch{a^2-(-b^2)}{a^2+b^2}=\cdots[/mm]
>
> Du hast da ein Minus zuwenig abgeschrieben, oder vielleicht
> ist auch einfach eins zuwenig angeschrieben worden. Das
> passiert schonmal im Eifer des Gefechts.
> Vergleiche mal mit den Mitschriften von Kommilitonen.
>
> Außerdem kannst Du uns ja mal ein größeres Stück Deiner
> Mitschrift abtippen, hier also die Voraussetzungen und
> wenigstens den Anfang der Rechnung bis zur fraglichen
> Stelle.
>
> > Ich habe mir bisher folgendes überlegt:
> > [mm](a^2-b^2)/(a^2+b^2)[/mm] = ((a+b)(a-b))/((a+bi)(a-bi))
>
> Richtig, aber nutzlos.
>
> > Hier komme ich dann aber nicht weiter.
> > Danke für eure Hilfe
>
> Grüße
> reverend
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