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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:19 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Sei A invertierbar, mit zerfallendem char. Poly. Es gibt eine eindeutig bestimmte Zerlegung A = DU. Zeige folgende Eigenschaften:
a) D ist diagonalisierbar und U unipotent
b)DU=UD
c) Sei A = D+N die Jordanzerlegung. Dann ist exp(A)=exp(D)exp(N) |
Hallo,
a)
Betrachte Jordanzerlegung A=D+N (DN=ND)
[mm] A=D+N=D(E*D^{-1}N)=(E+D^{-1}N)D
[/mm]
D ist sicher diagonalisierbar.
Setze U:= [mm] (E*D^{-1}N)
[/mm]
U ist unipotent, weil U-E nilpot ist: [mm] (D^{-1})^n=D^{-n}N^n=0 [/mm] mit n = dimV
a) und b) snd somit erledigt. Ich denke, das ist soweit ok?
Zu c):
A=D+N
<=>
[mm] e^A=e^{D+N}=e^D*e^N [/mm] (gilt weil DN=ND)
wegen der Eindeutigkeit bleibt nur noch zu zeigen
i) [mm] e^D [/mm] diagonalisierbar
[mm] ii)e^N [/mm] unipotent
i) [mm] D=P\pmat{ \lambda_1 & &\\ & \ddots &\\ & &\lambda_n}P^{-1}
[/mm]
Es folgt:
[mm] e^D=P\pmat{ e^{\lambda_1} & &\\ & \ddots &\\ & &e^{\lambda_n}}P^{-1}
[/mm]
ii) Hier ist mein Problem. Wie zeige ich, dass [mm] e^N [/mm] unipotent ist.
Mein Ansatz war mit der Exponentialreihe:
[mm] e^N=E+N+\bruch{1}{2}N^2+...+\bruch{1}{(n-1)!}N^{n-1}
[/mm]
<=>
[mm] e^N-E=N+\bruch{1}{2}N^2+...+\bruch{1}{(n-1)!}N^{n-1}
[/mm]
Nunja, der rechte Teil müsste nilpotent sein. Aber ich kann es nicht zeigen. Evtl. gibt es hier ja einen besseren Weg?
Gruß,
Rutzel
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> Sei A invertierbar, mit zerfallendem char. Poly. Es gibt
> eine eindeutig bestimmte Zerlegung A = DU. Zeige folgende
> Eigenschaften:
> a) D ist diagonalisierbar und U unipotent
> b)DU=UD
> c) Sei A = D+N die Jordanzerlegung. Dann ist
> exp(A)=exp(D)exp(N)
> Hallo,
> a)
> Betrachte Jordanzerlegung A=D+N (DN=ND)
>
> [mm]A=D+N=D(E+D^{-1}N)=(E+D^{-1}N)D[/mm]
>
> D ist sicher diagonalisierbar.
>
> Setze U:= [mm](E+D^{-1}N)[/mm]
>
> U ist unipotent, weil U-E nilpot ist:
> [mm](D^{-1}N)^n=D^{-n}N^n=0[/mm] mit n = dimV
>
> a) und b) snd somit erledigt. Ich denke, das ist soweit
> ok?
Hallo,
ich würde die Vertauschbarkeit und Nilpotenz etwas ausführlicher vorrechnen, und unbedingt erwähnen, warum D invertierbar ist, aber der Inhalt stimmt.
> ii) Hier ist mein Problem. Wie zeige ich, dass [mm]e^N[/mm]
> unipotent ist.
> Mein Ansatz war mit der Exponentialreihe:
> [mm]e^N=E+N+\bruch{1}{2}N^2+...+\bruch{1}{(n-1)!}N^{n-1}[/mm]
>
> <=>
>
> [mm]e^N-E=N+\bruch{1}{2}N^2+...+\bruch{1}{(n-1)!}N^{n-1}[/mm]
>
> Nunja, der rechte Teil müsste nilpotent sein. Aber ich kann
> es nicht zeigen. Evtl. gibt es hier ja einen besseren Weg?
Du weißt ja, daß es ein k gibt mit [mm] N^k=0.
[/mm]
Berechne nun
[mm] (e^N-E)^k=(N+\bruch{1}{2}N^2+...+\bruch{1}{(n-1)!}N^{n-1})^k=[N*(E+\bruch{1}{2}N^1+...+\bruch{1}{(n-1)!}N^{n-2}]^k
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo Angela,
[...]und unbedingt erwähnen, warum D
> invertierbar ist[...]
ups, daran habe ich garnicht gedacht. Ich habe es einfach stillschweigend vorrausgesetzt.
Nun, da [mm] A^{-1} [/mm] laut Aufgabenstellung existiert, existiert auch [mm] (D+N)^{-1}
[/mm]
[mm] A{-1}=(D+N)^{-1} [/mm] hier kommt man aber nicht weiter.
Wenn man nun A=DU hernimmt:
[mm] A^{-1}=(DU)^{-1}=U^{-1}D^{-1}
[/mm]
Es folgt, D ist invertierbar. Setzt U = [mm] (E+D^{-1}N) [/mm] mit N aus A=D+N. Dieser "Beweis" scheint mir aber komisch und falsch, denn ich kann ja nicht aus A=DU schließen, dass auch das D in A=D+N invertierbar ist (und das will ich ja eigentlich zeigen).
> [mm](e^N-E)^k=(N+\bruch{1}{2}N^2+...+\bruch{1}{(n-1)!}N^{n-1})^k=[N*(E+\bruch{1}{2}N^1+...+\bruch{1}{(n-1)!}N^{n-2}]^k[/mm]
Die Idee mit dem Ausklammern hatte ich auch schon, stand aber vor folgendem Problem:
zur einfacheren Schreibweise setzte [mm] B:=(E+\bruch{1}{2}N^1+...+\bruch{1}{(n-1)!}N^{n-2})
[/mm]
Dann:
[mm] (N*B)^k=N*B*N*B*N*B*N*B....N*B.
[/mm]
Hier kann ich das N aber auch nicht so "isolieren", damit [mm] N^k=0 [/mm] im Produkt auftaucht.
Gruß,
Rutzel
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> > warum D
> > invertierbar ist[...]
> Wenn man nun A=DU hernimmt:
> [mm]A^{-1}=(DU)^{-1}=U^{-1}D^{-1}[/mm]
> Es folgt, D ist invertierbar.
Hallo,
es stimmt natürlich, daß D invertierbar ist. Das folgt auch daraus, daß [mm] (DU)^{-1} [/mm] existiert, aber ist Dir wirklich klar, warum deshalb D invertierbar ist? Denn [mm] "=U^{-1}D^{-1}" [/mm] macht natürlich nur Sinn, wenn man weiß, daß das Inverse existiert.
Hier würde ich aber völlig ohne dieses U, welches ja etwas weit hergeholt ist, argumentieren.
Bedenke: D ist ja ähnlich zu einer Diagonalmatrix, auf deren Diagonalen die Eigenwerte von A stehen.
A ist invertierbar. Welcher Eigenwert kommt also nicht vor, und was folgt daraus für D' bzw. D?
> Setzt U = [mm](E+D^{-1}N)[/mm] mit N
> aus A=D+N. Dieser "Beweis" scheint mir aber komisch und
> falsch, denn ich kann ja nicht aus A=DU schließen, dass
> auch das D in A=D+N invertierbar ist (und das will ich ja
> eigentlich zeigen).
Momentchen mal - as ist doch dasselbe D! (Nun beginne ich daran zu zweifeln, daß Du Deinen eigenen Beweis verstehst... Ich hoffe, es ist nur ein temporäres Blackout.)
>
>
> >
> [mm](e^N-E)^k=(N+\bruch{1}{2}N^2+...+\bruch{1}{(n-1)!}N^{n-1})^k=[N*(E+\bruch{1}{2}N^1+...+\bruch{1}{(n-1)!}N^{n-2}]^k[/mm]
>
> Die Idee mit dem Ausklammern hatte ich auch schon, stand
> aber vor folgendem Problem:
> zur einfacheren Schreibweise setzte
> [mm]B:=(E+\bruch{1}{2}N^1+...+\bruch{1}{(n-1)!}N^{n-2})[/mm]
> Dann:
> [mm](N*B)^k=N*B*N*B*N*B*N*B....N*B.[/mm]
> Hier kann ich das N aber auch nicht so "isolieren", damit
> [mm]N^k=0[/mm] im Produkt auftaucht.
Hallo, die einfache Schreibweise verschleiert.
Überzeuge Dich davon, daß NB=BN. In B kommt doch nichts anderes vor als Potenzen von N. Das ist doch völlig ungefährlich.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
> Bedenke: D ist ja ähnlich zu einer Diagonalmatrix, auf
> deren Diagonalen die Eigenwerte von A stehen.
>
> A ist invertierbar. Welcher Eigenwert kommt also nicht vor,
> und was folgt daraus für D' bzw. D?
Achso, klar, 0 kann kein Eigenwert von A sein, denn wenn es ein EW wäre:
[mm] charPol_A(\lambda)=0
[/mm]
<=>
[mm] det(A-\lambda [/mm] E)=det(A-0 E)=det(A)=0
und dann wäre A nicht invertierbar.
Die Determinante von D ist das Produkt der Diagonalelemente. Da alle Diagonalelemente [mm] \not [/mm] = 0 sind, ist auch die Determinante von D ungleich 0 und D somit invertierbar.
>
> > Setzt U = [mm](E+D^{-1}N)[/mm] mit N
> > aus A=D+N. Dieser "Beweis" scheint mir aber komisch und
> > falsch, denn ich kann ja nicht aus A=DU schließen, dass
> > auch das D in A=D+N invertierbar ist (und das will ich ja
> > eigentlich zeigen).
>
> Momentchen mal - as ist doch dasselbe D! (Nun beginne ich
> daran zu zweifeln, daß Du Deinen eigenen Beweis
> verstehst... Ich hoffe, es ist nur ein temporäres
> Blackout.)
Das ist mir schon klar, dass das dasselbe D ist. Darum kam mir mein "Beweis" zur Invertierbarkeit auch extrem komisch vor.
> Überzeuge Dich davon, daß NB=BN. In B kommt doch nichts
> anderes vor als Potenzen von N. Das ist doch völlig
> ungefährlich.
Achso,....
ich kann ja das N sowohl nach links als auch nach Rechts ausklammern. Es gilt also NB=BN
somit kann ich in [mm] (NB)^k=NBNBNB...
[/mm]
alle N nach links durchziehen und habe ein [mm] N^k=0 [/mm] im Produkt stehen.
Gruß,
Rutzel
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