monotone Funktion, messbar < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass jede monotone Funktion [mm] $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ [/mm] Lebesgue-Borel-messbar ist. |
Hallo,
ich beschäftige mich zur Zeit mit dieser Aufgabe und benötige etwas Hilfe.
Unsere Definition lautet so:
Seien (X,B), (Y,C) Messräume (Also X, Y Mengen und B, C [mm] $\sigma$-Algebren) [/mm] und [mm] $f:X\to [/mm] Y$ Abbildung. Dann heißt $f$ B-C-messbar, falls gilt:
Für jede Teilmenge [mm] $S\subseteq [/mm] Y$ mit [mm] $S\in [/mm] C$ ist das Urbild [mm] $f^{-1}(S)\subset [/mm] X$ ein Element von $B$.
Hier würde ich also die Paare [mm] $(\mathbb{R},\mathcal{L})$, $(\mathbb{R},\mathcal{B})$ [/mm] betrachten, wobei [mm] $\mathcal{L}$ [/mm] die [mm] Lebesgue-$\sigma$-Algebra [/mm] ist und [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] die [mm] Borel-$\sigma$-Algebra.
[/mm]
Und nun muss ich zeigen, dass das Urbild einer Teilmenge der reellen Zahlen Lebesgue-messbar ist, oder was genau verlangt die Aufgabe von mir...
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:13 So 15.11.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
du sollst zeigen, dass das Urbild einer Borelmenge unter f Lebesgue-messbar ist.
Ueberlege dir, dass es ausreicht zu zeigen, dass die Menge [mm] $f^{-1}([c,\infty))$ [/mm] für alle [mm] $c\in \mathbb{R}$ [/mm] Lebesgue-messbar ist.
Untersuche nun diese Menge für monoton wachsende Funktionen.
Liebe Grüße
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Danke für die schnelle Antwort.
Wir sind in den erweiterten reellen Zahlen [mm] $\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}$.
[/mm]
Die [mm] Borel-$\sigma$-Algebra [/mm] auf [mm] $[-\infty,\infty]$ [/mm] ist die von [mm] $\{(a,\infty]|a\in\mathbb{R}\}$ [/mm] erzeugte [mm] $\sigma$-Algebra.
[/mm]
Reicht es daher, dass von dir genannte Intervall zu betrachten, wobei ich [mm] $\infty$ [/mm] hier noch dazu genommen habe.
Um zu zeigen, dass das [mm] $f^{-1}([c,\infty))$ [/mm] (um erstmal bei deinem Intervall zu bleiben) Lebesgue-messbar ist, muss ich zeigen, dass für jedes [mm] $\epsilon>0$ [/mm] eine offene Menge [mm] $U\subseteq\mathbb{R}$ [/mm] existiert, mit [mm] $\mu^{\ast}(U-[c,\infty))\leq\epsilon$, [/mm] wobei
[mm] $\mu^{\ast}(S):=\inf\{\sum_{n=1}^\infty |W_n|\quad|W_n\quad\text{abgeschlossene Würfel und}\,\,\, S\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty W_n\}$
[/mm]
Oder ist das gar nicht notwendig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:21 So 15.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die schnelle Antwort.
>
> Wir sind in den erweiterten reellen Zahlen
> [mm]\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}[/mm].
> Die Borel-[mm]\sigma[/mm]-Algebra auf [mm][-\infty,\infty][/mm] ist die von
> [mm]\{(a,\infty]|a\in\mathbb{R}\}[/mm] erzeugte [mm]\sigma[/mm]-Algebra.
>
> Reicht es daher, dass von dir genannte Intervall zu
> betrachten, wobei ich [mm]\infty[/mm] hier noch dazu genommen habe.
>
> Um zu zeigen, dass das [mm]f^{-1}([c,\infty))[/mm] (um erstmal bei
> deinem Intervall zu bleiben) Lebesgue-messbar ist, muss ich
> zeigen, dass für jedes [mm]\epsilon>0[/mm] eine offene Menge
> [mm]U\subseteq\mathbb{R}[/mm] existiert, mit
> [mm]\mu^{\ast}(U-[c,\infty))\leq\epsilon[/mm], wobei
>
> [mm]\mu^{\ast}(S):=\inf\{\sum_{n=1}^\infty |W_n|\quad|W_n\quad\text{abgeschlossene Würfel und}\,\,\, S\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty W_n\}[/mm]
>
> Oder ist das gar nicht notwendig?
Nein, das ist mit Kanonen auf Spatzen geschossen !
Überlege Dir: ist f monoton wachsend , so ist $ [mm] f^{-1}([c,\infty)) [/mm] $ ein Intervall.
Dazu überlege Dir zunächst: ist $ [mm] x_0 \in f^{-1}([c,\infty)) [/mm] $, so gilt auch
[mm] $[x_0, \infty) \subseteq f^{-1}([c,\infty)) [/mm] $.
FRED
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Hi,
ich habe mir folgendes überlegt:
Sei [mm] $x_0\in f^{-1}([c,\infty))$, [/mm] dann ist [mm] $f(x_0)\in[c,\infty)$.
[/mm]
Weil f monoton steigend ist, gilt für alle [mm] $x_1>x_0$, [/mm] dass [mm] $f(x_1)>f(x_0)$.
[/mm]
Sei [mm] $M:=\{x|f(x)>x_0\}\subseteq[c,\infty)$, [/mm] dann ist
[mm] $f^{-1}(M)=[x_0,\infty)\subseteq f^{-1}([c,\infty))$
[/mm]
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Über weitere Anmerkungen würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank.
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Hiho,
> Sei [mm]x_0\in f^{-1}([c,\infty))[/mm], dann ist
> [mm]f(x_0)\in[c,\infty)[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Weil f monoton steigend ist, gilt für alle [mm]x_1>x_0[/mm], dass
> [mm]f(x_1)>f(x_0)[/mm].
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Eine konstante Funktion ist auch monoton steigend.
> Sei [mm]M:=\{x|f(x)>x_0\}\subseteq[c,\infty)[/mm]
Nein, du meinst sicher: [mm] $M:=\{x|f(x)>f(x_0)\}$
[/mm]
> [mm]f^{-1}(M)=[x_0,\infty)\subseteq f^{-1}([c,\infty))[/mm]
Nein, das würde nur gelten, falls du in deine Menge das > durch ein [mm] \ge [/mm] ersetzt.
Deine Überlegungen sind soweit ok, aber du hast ja noch nicht gezeigt, dass [mm] $f^{-1}([c,\infty))$ [/mm] ein Intervall ist.
Im Übrigen könnte ja sogar gelten [mm] $f^{-1}([c,\infty)) [/mm] = [mm] (-\infty,\infty)$.
[/mm]
Und du fängst an mit "Sei [mm]x_0\in f^{-1}([c,\infty))[/mm]".
Wer sagt dir, dass du überhaupt so ein [mm] x_0 [/mm] findest, was darin liegt?
Also geh etwas strukturierter ran:
1. Fall: [mm] $f^{-1}([c,\infty)) [/mm] = [mm] \emptyset$
[/mm]
2. Fall: [mm] $f^{-1}([c,\infty)) \not= \emptyset$ [/mm] und [mm] $\inf f^{-1}([c,\infty)) [/mm] > [mm] -\infty$
[/mm]
3. Fall: [mm] $f^{-1}([c,\infty)) \not= \emptyset$ [/mm] und [mm] $\inf f^{-1}([c,\infty)) [/mm] = [mm] -\infty$
[/mm]
Jetzt du.
Gruß,
Gono
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Vielen Dank für deine Antwort.
Ich kann mich leider erst heute Abend wieder mit der Aufgabe beschäftigen und werde dann einen Lösungsvorschlag posten.
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1. Fall:
Wenn $f(x)<c$ für alle [mm] $x\in\mathbb{R}$, [/mm] dann ist [mm] $f^{-1}([c,\infty))=\emptyset$
[/mm]
2. Fall:
Sei [mm] $f^{-1}([c,\infty))\neq\emptyset$, [/mm] also gibt es ein [mm] $x\in f^{-1}([c,\infty))$ [/mm] mit [mm] $c\leq f(x)<\infty$. [/mm] Da $f$ monoton gilt für alle [mm] $x_1\leq x_2$, [/mm] dass [mm] $f(x_1)\leq f(x_2)$ [/mm] und wegen [mm] $\inf f^{-1}([c,\infty))>-\infty$ [/mm] ist [mm] $(-\infty, x_2]\subseteq f^{-1}([c,\infty))$, [/mm] also
[mm] $f^{-1}([c,\infty))=\bigcup_{x\in f^{-1}([c,\infty))} (-\infty, [/mm] x)$
Kann ich so vorgehen?
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Hiho,
> Sei [mm]f^{-1}([c,\infty))\neq\emptyset[/mm], also gibt es ein [mm]x\in f^{-1}([c,\infty))[/mm] mit [mm]c\leq f(x)<\infty[/mm].
Jo.
> Da [mm]f[/mm] monoton gilt für alle [mm]x_1\leq x_2[/mm],
> dass [mm]f(x_1)\leq f(x_2)[/mm] und wegen [mm]\inf f^{-1}([c,\infty))>-\infty[/mm] ist [mm](-\infty, x_2]\subseteq f^{-1}([c,\infty))[/mm]
Die Aussage macht keinen Sinn. Wo kommt dein [mm] x_2 [/mm] so plötzlich her? Was soll das sein? Und wieso sollte obige Teilmengenbeziehung gelten?
Nehmen wir Fall 2 an und setzen $z:=$ [mm] $\inf$ [/mm] $ [mm] f^{-1}([c,\infty))$.
[/mm]
Nun gibt es zwei Möglichkeiten für z, nämlich $z [mm] \in$ [/mm] $ [mm] f^{-1}([c,\infty))$ [/mm] und [mm] $z\not\in $$f^{-1}([c,\infty))$.
[/mm]
Wie sieht in jedem Fall [mm] $f^{-1}([c,\infty))$ [/mm] aus?
Gruß,
Gono
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