monotone Folge zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 So 21.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
meine Aufgabe ist es zu zeigen, dass [mm] (a_{n})_{n} [/mm] mit [mm] a_{n} [/mm] := (1 + [mm] \bruch{m}{n})^n [/mm] , n > |m|, für alle m [mm] \in \IZ [/mm] eine monotone Folge mit dem Grenzwert [mm] e^m [/mm] ist.
Eigentlich dürfte es doch nun reichen, zu zeigen, dass die Folge monoton ist und auch beschränkt, denn dann wäre sie nach dem Satz von der monotonen Konvergenz ja auch konvergent und ich könnte ihren Grenzwert mit Hilfe des Supremums bzw. Infimumss bestimmen, oder liege ich mit meiner Idee falsch?
Allerdings scheiter ich gleich zu Beginng, da ich nicht so ganz weiß wie ich beweisen könnte, dass die Funktion monoton ist... Ich weiß, dass ja folgendes gelten muss:
[mm] n_{1} [/mm] < [mm] n_{2} \Rightarrow a_{n_1} \le a_{n_2}
[/mm]
Doch wie zeige ich dies nun? Kann ich das mit vollständiger Induktion zeigen?
Vielen Dank schonmal im Voraus!
Liebe Grüße,
Pia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Di 23.11.2010 | | Autor: | Isabelle90 |
Hallo!
Weißt du inzwischen näheres zur Monotonie, denn ich stehe vor einem ähnlichem Problem und weiß nicht wie ich die Monotonie zeigen soll.
Viele Grüße
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> Hallo zusammen,
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> meine Aufgabe ist es zu zeigen, dass [mm](a_{n})_{n}[/mm] mit [mm]a_{n}[/mm]
> := (1 + [mm]\bruch{m}{n})^n[/mm] , n > |m|, für alle m [mm]\in \IZ[/mm] eine
> monotone Folge mit dem Grenzwert [mm]e^m[/mm] ist.
> Allerdings scheiter ich gleich zu Beginng, da ich nicht so
> ganz weiß wie ich beweisen könnte, dass die Funktion
> monoton ist... Ich weiß, dass ja folgendes gelten muss:
> [mm]n_{1}[/mm] < [mm]n_{2} \Rightarrow a_{n_1} \le a_{n_2}[/mm]
> Doch wie
> zeige ich dies nun? Kann ich das mit vollständiger
> Induktion zeigen?
Hallo,
hierfür kannst Du Dich am Beweis der Monotonie von [mm] b_n:=(1 [/mm] + [mm] $\bruch{1}{n})^n$ [/mm] entlanghangeln. Das wurde bestimmt gemacht.
Beginnen kannst Du mit
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}= ...=(...)^{n+1}*...,
[/mm]
und dann die Bernoulliungleichung verwenden.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank schonmal im Voraus!
>
> Liebe Grüße,
> Pia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Di 23.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
erstmal vielen Dank für die Antwort!
Mir ist jetzt klar, wie ich vorgehen sollte, allerdings bleibe ich nun irgendwie bei der Umformung hängen...
Also ich habe wie folgt begonnen:
Monotonie: [mm] (a_n \le a_{n+1} \gdw a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n \ge [/mm] 0 [mm] \gdw \bruch{a_{n+1}}{a_n} \ge [/mm] 1
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \bruch{(1+ \bruch{m}{n+1})^{n+1}}{(1 + \bruch {m}{n})^n} [/mm] = [mm] \bruch [/mm] {n+1+m}{n+1} [mm] \* (\bruch{(n+1+m) \* (n+m)}{(n+1) \* n})^n [/mm] =(1+ [mm] \bruch{2mn + m + m^2}{n^2+n})^n \* \bruch{n+1+m}{n+1}
[/mm]
Doch jetzt habe ich Probleme, damit weiter umzugehen... Hab ich einen Fehler in meinen Umformungen oder wie kann ich weiter vorgehen?
LG Pia
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> Hallo zusammen,
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> erstmal vielen Dank für die Antwort!
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> Mir ist jetzt klar, wie ich vorgehen sollte, allerdings
> bleibe ich nun irgendwie bei der Umformung hängen...
> Also ich habe wie folgt begonnen:
>
> Monotonie: [mm](a_n \le a_{n+1} \gdw a_{n+1}[/mm] - [mm]a_n \ge[/mm] 0 [mm]\gdw \bruch{a_{n+1}}{a_n} \ge[/mm]
> 1
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] = [mm]\bruch{(1+ \bruch{m}{n+1})^{n+1}}{(1 + \bruch {m}{n})^n}[/mm]
> = [mm]\bruch[/mm] [mm]\bruch{n+1+m}{n+1}[/mm] [mm]\* (\bruch{(n+1+m) \* (n+m)}{(n+1) \* n})^n[/mm]
> =(1+ [mm]\bruch{2mn + m + m^2}{n^2+n})^n \* \bruch{n+1+m}{n+1}[/mm]
>
> Doch jetzt habe ich Probleme, damit weiter umzugehen... Hab
> ich einen Fehler in meinen Umformungen oder wie kann ich
> weiter vorgehen?
Hallo,
einen Fehler sehe ich nicht, ich hatte Dir allerdings geraten, mit [mm] =(...)^{n+1}*... [/mm] zu beginnen.
Dann sieht das so aus:
[mm]\bruch{(1+ \bruch{m}{n+1})^{n+1}}{(1 + \bruch {m}{n})^n}[/mm] =[mm]\bruch{(1+ \bruch{m}{n+1})^{n+1}}{(1 + \bruch {m}{n})^{n+1} *(\bruch{1}{(1 + \bruch {m}{n})}}[/mm]
=[mm](\bruch{(1+n+m)n}{(m+n)(n+1)})^{n+1}*\bruch{n+m}{n}[/mm],
und wenn Du jetzt mit Bernoulli kommst, fällt manches weg.
Gruß v. Angela
>
> LG Pia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Do 25.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
ah ok vielen Dank :)
Dann versuch ich es nochmal...
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