monoton, surjekt. folgt stetig < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Mi 18.07.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Man zeige: Jede streng monotone und surjektive Abbildung $f: [mm] \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} [/mm] $, [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] versehen mit der eukldischen Metrik, ist stetig |
Seien [mm] $a,b\in \mathbb{R} [/mm] $ mit $f(a) = [mm] f(x_0) [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] $ und $f(b) = [mm] f(x_0)+\varepsilon [/mm] . $ (was ich wegen der Surjektivitätsvoraussetzung annehmen darf)
Wegen [mm] $f(x_0) [/mm] = [mm] \frac{(f(x_0) - \epsilon ) +(f(x_0)+ \varepsilon ) } [/mm] {2} = [mm] \frac{f(a)+f(b)}{2}$ [/mm] gilt $f(a) < [mm] f(x_0) [/mm] < f(b). $ Anwenden der Umkehrfunktion und der Monotonievoraussetzung liefert [mm] $a
Für [mm] $\delta [/mm] := [mm] min\{|x_0 - b|, |x_0+b| \}$ [/mm] bleibt also zu zeigen: Sei dazu [mm] $x_0 \in \mathbb{R}$ [/mm] fest
[mm] $\forall x\in \mathbb{R}:|x-x_0| [/mm] < [mm] x_0 [/mm] -a [mm] \Rightarrow [/mm] |f(x) [mm] -f(x_0)| [/mm] < f(b) - [mm] f(x_0) [/mm] $ (sei der Einfachheit halber [mm] $x_0 [/mm] - [mm] a\ge [/mm] 0 $)
Nun gilt wieder wegen der Monotonie (sei dazu o.B.d.A. [mm] $\delta [/mm] = [mm] |x_0 [/mm] -a|$):
$|x - [mm] x_0 [/mm] |< [mm] x_0 [/mm] - a [mm] \Rightarrow [/mm] |f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] f(x_0) [/mm] - f(a) = [mm] \frac{f(b) - f(a)}{2} [/mm] = [mm] \frac{2f(b) - f(a) - f(b) }{2 } [/mm] = f(b) - [mm] \frac{f(a) - f(b) }{2} [/mm] = f(b) - [mm] f(x_0) [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] $
Frage: Habe ich alles richtig gemacht oder etwas übersehen?
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Hiho,
> [mm]|x - [mm] x_0 [/mm] |< [mm] x_0 [/mm] - a [mm] \Rightarrow [/mm] |f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] f(x_0) [/mm] - f(a)
Wie kommst du auf diese Folgerung? Warum sollte das gelten? Das hast du bisher nicht gezeigt (und ist im Allgemeinen wohl auch falsch).
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:26 Do 19.07.2012 | | Autor: | fred97 |
Gono hat Dich ja schon auf Lücken in Deiner Argumentation aufmerksam gemacht.
Sei [mm] x_0 \in \IR.
[/mm]
Wir können annehmen, dass f streng wachsend ist. Daher ex. die einseitigen Grenzwerte
[mm] b:=\limes_{x\rightarrow x_0+0}f(x) [/mm] und [mm] a:=\limes_{x\rightarrow x_0-0}f(x).
[/mm]
Da f wächst, ist a [mm] \le [/mm] b.
Wäre f in [mm] x_0 [/mm] nicht stetig, so wäre a<b.
Nun zeige, dass dies ein Widerspruch zur Surjektivität von f ist.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Do 19.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man zeige: Jede streng monotone und surjektive Abbildung [mm]f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} [/mm],
> [mm]\mathbb{R}[/mm] versehen mit der eukldischen Metrik, ist stetig
das kann man auch direkt zeigen:
Es seien [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ und [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest. Setze [mm] $y_0:=f(x_0)\,.$ [/mm] Sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Setze [mm] $\delta:=\min\{|x_0-f^{-1}(y_0-\epsilon)|,\;|x_0+f^{-1}(y_0+\epsilon)|\}\,.$ [/mm] Warum ist [mm] $\delta$ [/mm] (wohl-)definiert und warum gilt [mm] $\delta [/mm] > 0$? (Beachte dabei: Als streng monotone Abbildung ist [mm] $f\,$ [/mm] insbesondere injektiv. Die Monotonie hilft dabei, [mm] $\delta [/mm] > 0$ zu erklären, denn das Minimum einer endlichen Menge echt positiver Zahlen ist echt positiv!)
Was gilt für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$? [/mm] (Beachte die Monotonie!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:18 Do 19.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> > Man zeige: Jede streng monotone und surjektive Abbildung [mm]f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} [/mm],
> > [mm]\mathbb{R}[/mm] versehen mit der eukldischen Metrik, ist stetig
>
> das kann man auch direkt zeigen:
> Es seien [mm]\epsilon > 0[/mm] und [mm]x_0 \in \IR[/mm] beliebig, aber fest.
> Setze [mm]y_0:=f(x_0)\,.[/mm] Sei [mm]\epsilon > 0\,.[/mm] Setze
> [mm]\delta:=\min\{|y_0-f^{-1}(y_0-\epsilon)|,\;|y_0+f^{-1}(y_0+\epsilon)|\}\,.[/mm]
Hallo Marcel,
Du meinst sicher
[mm]\delta:=\min\{|x_0-f^{-1}(y_0-\epsilon)|,\;|x_0+f^{-1}(y_0+\epsilon)|\}\,.[/mm]
Gruß FRED
> Warum ist [mm]\delta[/mm] (wohl-)definiert und warum gilt [mm]\delta > 0[/mm]?
> (Beachte dabei: Als streng monotone Abbildung ist [mm]f\,[/mm]
> insbesondere injektiv. Die Monotonie hilft dabei, [mm]\delta > 0[/mm]
> zu erklären, denn das Minimum einer endlichen Menge echt
> positiver Zahlen ist echt positiv!)
>
> Was gilt für alle [mm]x \in \IR[/mm] mit [mm]|x-x_0| < \delta[/mm]? (Beachte
> die Monotonie!)
>
> Gruß,
> Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:27 Do 19.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo,
> >
> > > Man zeige: Jede streng monotone und surjektive Abbildung [mm]f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} [/mm],
> > > [mm]\mathbb{R}[/mm] versehen mit der eukldischen Metrik, ist stetig
> >
> > das kann man auch direkt zeigen:
> > Es seien [mm]\epsilon > 0[/mm] und [mm]x_0 \in \IR[/mm] beliebig, aber
> fest.
> > Setze [mm]y_0:=f(x_0)\,.[/mm] Sei [mm]\epsilon > 0\,.[/mm] Setze
> >
> [mm]\delta:=\min\{|y_0-f^{-1}(y_0-\epsilon)|,\;|y_0+f^{-1}(y_0+\epsilon)|\}\,.[/mm]
>
> Hallo Marcel,
>
> Du meinst sicher
>
> [mm]\delta:=\min\{|x_0-f^{-1}(y_0-\epsilon)|,\;|x_0+f^{-1}(y_0+\epsilon)|\}\,.[/mm]
Danke, das war ein dämlicher Verschreiber meinerseits!
Gruß,
Marcel
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