monoton fallend < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Mo 11.04.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Für $x [mm] \geq [/mm] 0$ sei die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \mathbb N} \subseteq \mathbb [/mm] R$ rekursiv definiert durch [mm] $a_{n+1}:=\frac{1}{2}\left( a_n + \frac{x_0}{a_n} \right), [/mm] n [mm] \in \mathbb [/mm] N$ wobei [mm] $a_1 [/mm] > [mm] \sqrt{x_0}$ [/mm] fest vorgegeben sei. Zeigen Sie:
- [mm] $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ [/mm] ist monoton fallend und nach unten beschränkt.
- [mm] $\lim_{n \to \infty} a_n [/mm] = [mm] \sqrt{x_0}$ [/mm] |
Zur ersten Teilaufgabe:
Die vorgegebene Folge ist ja hier rekursiv definiert. Das ist ja angezeigt durch das $n+1$ im Index des "a" das vor dem "definiert" zeichen steht. Ich weiß aber nicht wie ich die Monotonie bestimmen soll wenn eine Folge rekursiv definiert ist. Oder soll ich diese gewünschte Monotonie trotzdem einfach über die Folge wie sie dasteht berechnen? Irgendwie verstehe ich das nicht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mo 11.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Für [mm]x \geq 0[/mm] sei die Folge [mm](a_n)_{n \in \mathbb N} \subseteq \mathbb R[/mm]
> rekursiv definiert durch [mm]a_{n+1}:=\frac{1}{2}\left( a_n + \frac{x_0}{a_n} \right), n \in \mathbb N[/mm]
> wobei [mm]a_1 > \sqrt{x_0}[/mm] fest vorgegeben sei. Zeigen Sie:
>
> - [mm](a_n)_{n \in \mathbb N}[/mm] ist monoton fallend und nach
> unten beschränkt.
>
> - [mm]\lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{x_0}[/mm]
>
> Zur ersten Teilaufgabe:
>
> Die vorgegebene Folge ist ja hier rekursiv definiert. Das
> ist ja angezeigt durch das [mm]n+1[/mm] im Index des "a" das vor dem
> "definiert" zeichen steht. Ich weiß aber nicht wie ich die
> Monotonie bestimmen soll wenn eine Folge rekursiv definiert
> ist. Oder soll ich diese gewünschte Monotonie trotzdem
> einfach über die Folge wie sie dasteht berechnen?
> Irgendwie verstehe ich das nicht...
Zeige mit Induktion:
[mm] $a_{n+1} \le a_n$ [/mm] für n [mm] \in \IN_0
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Mo 11.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Die Induktion dieser Aufgabe hab ich aber schon gezeigt...
Meinst du dann so:
[mm] $\frac{1}{2}\left( a_{n+1}+\frac{x_0}{a_{n+1}}\right) \leq \frac{1}{2}\left( a_{n}+\frac{x_0}{a_{n}}\right) [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Mo 11.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Induktion dieser Aufgabe hab ich aber schon gezeigt...
Was meinst Du damit .... ?
>
> Meinst du dann so:
>
> [mm]\frac{1}{2}\left( a_{n+1}+\frac{x_0}{a_{n+1}}\right) \leq \frac{1}{2}\left( a_{n}+\frac{x_0}{a_{n}}\right)[/mm]
Ja
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:01 Mo 11.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Gut. Dann kann ich ja so weiter machen:
$ [mm] \frac{1}{2}\left( a_{n+1}+\frac{x_0}{a_{n+1}}\right) \leq \frac{1}{2}\left( a_{n}+\frac{x_0}{a_{n}}\right) \Leftrightarrow a_{n+1}-a_{n}+\frac{x_0}{a_{n+1}}-\frac{x_0}{a_{n}} \Leftrightarrow a_{n}+\frac{x_0}{a_{n}}$
[/mm]
Bei der letzten Umformung bin ich mir leider nicht mehr sicher ob man da einfach dann so minusrechnen darf! Aber: Wenn ich nun für [mm] x_0 [/mm] einmal 0 und für [mm] a_n [/mm] einmal 1 einsetze, kommt man auf 1. 1 ist aber nicht kleinergleich 0 und somit sollte da was jetzt nicht stimmen. Ich weiß aber dann nicht mehr weiter...
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Hallo bandchef,
wie soll man dir helfen, wenn du solch einen formalen Mist schreibst??
> Gut. Dann kann ich ja so weiter machen:
>
> [mm]\frac{1}{2}\left( a_{n+1}+\frac{x_0}{a_{n+1}}\right) \leq \frac{1}{2}\left( a_{n}+\frac{x_0}{a_{n}}\right) \Leftrightarrow a_{n+1}-a_{n}+\frac{x_0}{a_{n+1}}-\frac{x_0}{a_{n}} \Leftrightarrow a_{n}+\frac{x_0}{a_{n}}[/mm]
Eine Ungleichung ist also äquivalent zu einem Term, sehr interessant.
Wusste gar nicht, dass das geht ...
Was du dann danach daraus äquivalent folgerst, verstehe ich noch weniger (davon abgesehen, dass 2 Terme nicht äquivalent sind, allenfalls gleich).
Zumindest fehlt ein Teil bzw. fehlen Teile...
Schreibe es also bitte nochmal VERNÜNFTIG auf, dann kann dir auch geholfen werden ...
>
>
> Bei der letzten Umformung bin ich mir leider nicht mehr
> sicher ob man da einfach dann so minusrechnen darf! Aber:
> Wenn ich nun für [mm]x_0[/mm] einmal 0 und für [mm]a_n[/mm] einmal 1
> einsetze, kommt man auf 1. 1 ist aber nicht kleinergleich 0
> und somit sollte da was jetzt nicht stimmen. Ich weiß aber
> dann nicht mehr weiter...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mo 11.04.2011 | | Autor: | bandchef |
monoton fallend: [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \mathbb [/mm] N: [mm] a_{n+1} \leq a_n$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{2}\left( a_{n+1}+\frac{x_0}{a_{n+1}}\right) \leq a_n [/mm] $
Stimmt das jetzt so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Mo 11.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
Nein, das stimmt nicht. Du hast es geschafft, die vorgegebene Folgenvorschrift aus der Aufgabenstellung falsch abzuschreiben.
Es muss lauten:
[mm]a_{n+1} \ \le \ a_n[/mm]
[mm]\gdw \ \frac{1}{2}*\left( a_{\red{n}}+\frac{x_0}{a_{\red{n}}}}\right) \ \leq \ a_n[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Mo 11.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Gut, da war ich in der Tat zu dumm die Brück zu schlagen, dass in der Definition für monoton fallend, das a_{n+1} das gleiche Bedeutet wie bei meiner rekursiver Definition der Reihe!
Wie gehts nun hier weiter nachdem ich ja anscheinend verstanden habe wie ich richtig einsetze? So vielleicht:
$ \gdw \ \frac{1}{2}\cdot{}\left( a_{\red{n}}+\frac{x_0}{a_{\red{n}}}}\right) \ \leq \ a_n \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \frac{x_0 - a_n}{2\cdot a_n} \leq 0$
Soweit richtig?
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Hallo bandchef,
> Gut, da war ich in der Tat zu dumm die Brück zu schlagen,
> dass in der Definition für monoton fallend, das [mm]a_{n+1}[/mm]
> das gleiche Bedeutet wie bei meiner rekursiver Definition
> der Reihe!
>
> Wie gehts nun hier weiter nachdem ich ja anscheinend
> verstanden habe wie ich richtig einsetze? So vielleicht:
>
> [mm]\gdw \ \frac{1}{2}\cdot{}\left( a_{\red{n}}+\frac{x_0}{a_{\red{n}}}}\right) \ \leq \ a_n \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \frac{x_0 - a_n}{2\cdot a_n} \leq 0[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]\gdw \ \frac{1}{2}\cdot{}\left( a_{n}+\frac{x_0}{a_{n}}}\right) \ \leq \ a_n \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \frac{x_0 - a_n^{\red{2}}}{2\cdot a_n} \leq 0[/mm]
>
> Soweit richtig?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mo 18.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Ja, du hast recht. Da hab ich wohl wirklich das Quadrat im Zähler vergessen. Ich hab jetzt hier (genauso wie du) das hier stehen:
[mm] $\frac{x_0-a^2_n}{2\cdot a_n} \leq [/mm] 0$
Jetzt soll ich noch zeigen das gilt:
[mm] $\lim_{n \to \infty} a_n [/mm] = [mm] \sqrt{x_0} \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{x_0}{a_n} \right) [/mm] = [mm] \sqrt{x_0}$
[/mm]
Wie geht das da jetzt weiter? Was ist denn [mm] x_0 [/mm] wenn ich die Grenzbetrachtung mache?
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Hallo bandchef,
> Ja, du hast recht. Da hab ich wohl wirklich das Quadrat im
> Zähler vergessen. Ich hab jetzt hier (genauso wie du) das
> hier stehen:
>
> [mm]\frac{x_0-a^2_n}{2\cdot a_n} \leq 0[/mm]
>
> Jetzt soll ich noch zeigen das gilt:
>
> [mm]\lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{x_0} \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{x_0}{a_n} \right) = \sqrt{x_0}[/mm]
>
> Wie geht das da jetzt weiter? Was ist denn [mm]x_0[/mm] wenn ich die
> Grenzbetrachtung mache?
Zeige mit Hilfe der Ungleichung, daß die Folge beschränkt ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mo 18.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich soll also mit dieser Ungleichung $ [mm] \frac{x_0-a^2_n}{2\cdot a_n} \leq [/mm] 0 $ zeigen dass die Folge beschränkt ist. Soweit so gut. Wie aber gehe ich da nun vor? Muss ich die Ungleichung einsetzen?
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Hallo bandchef,
> Ich soll also mit dieser Ungleichung
> [mm]\frac{x_0-a^2_n}{2\cdot a_n} \leq 0[/mm] zeigen dass die Folge
> beschränkt ist. Soweit so gut. Wie aber gehe ich da nun
> vor? Muss ich die Ungleichung einsetzen?
Faktorisiere die Ungleichung.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mo 18.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Sorry, aber ich verstehe leider nicht was du mit faktorisieren meinst. Bei einer quadratischen Gleichung oder Binom wüsste ich schon was du damit meinst, aber hier verstehe ich es leider nicht...
Das verstehe ich unter Faktorisieren: [mm] $x^2 [/mm] - x - 12 = (x-4)(x+3)$
Wie wende ich das nun auf meine Ungleichung an?
Ich hab mal testhalber die Ungleichung auseinandergezogen:
[mm] $(x_0 [/mm] - [mm] a^2_n) \cdot \frac{1}{2 a_n} \leq [/mm] 0$ Hilft mir das schon mal weiter?
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Hallo bandchef,
> Sorry, aber ich verstehe leider nicht was du mit
> faktorisieren meinst. Bei einer quadratischen Gleichung
> oder Binom wüsste ich schon was du damit meinst, aber hier
> verstehe ich es leider nicht...
>
> Das verstehe ich unter Faktorisieren: [mm]x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3)[/mm]
Ja, das meine ich auch.
>
> Wie wende ich das nun auf meine Ungleichung an?
>
> Ich hab mal testhalber die Ungleichung auseinandergezogen:
>
> [mm](x_0 - a^2_n) \cdot \frac{1}{2 a_n} \leq 0[/mm] Hilft mir das
> schon mal weiter?
Betrachte hier nur den Zähler, da der Nenner sowieso positiv ist.
Wende auf den Zähler die 3. binomische Formel an.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Mo 18.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Hm, ich denke so sollte es richtig sein:
[mm] $\frac{x_0-a^2_n}{2 \cdot a_n} \leq [/mm] 0 [mm] \Leftrightarrow \frac{(\sqrt{x_0}+a_n)(\sqrt{x_0}-a_n)}{2 \cdot a_n} \leq [/mm] 0$ Was sagt mir das jetzt?
Edit: Benötigt man die Bestimmung der Beschränktheit zur Berechnun des limes?
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Hallo bandchef,
> Hm, ich denke so sollte es richtig sein:
>
> [mm]\frac{x_0-a^2_n}{2 \cdot a_n} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{(\sqrt{x_0}+a_n)(\sqrt{x_0}-a_n)}{2 \cdot a_n} \leq 0[/mm]
> Was sagt mir das jetzt?
Jetzt hast Du zwei Fälle:
i) [mm]\wurzel{x_{0}}-a_{n} \ge 0 \wedge \wurzel{x_{0}}+a_{n} \leq 0[/mm]
ii) [mm]\wurzel{x_{0}}-a_{n} \leq 0 \wedge \wurzel{x_{0}}+a_{n} \ge 0[/mm]
Und da [mm]a_{n} > 0[/mm] muß ...
>
> Edit: Benötigt man die Bestimmung der Beschränktheit zur
> Berechnun des limes?
In diesem Fall ist Grenzwert durch die Beschränkheit schon gegeben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Mo 18.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Woher weißt du, dass [mm] $a_n [/mm] > 0$ sein muss?
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Hallo bandchef,
> Woher weißt du, dass [mm]a_n > 0[/mm] sein muss?
In der Aufgabe steht:[mm]a_{1} > \wurzel{x_{0}}[/mm]
und das ist per Definition [mm]\ge 0[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Mo 18.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Naja, wer lesen kann ist klar im Vorteil. Wenn nun [mm] $a_n [/mm] > 0$ sein muss, ist dann Fall 2 der Richtige? Wenn ja, was muss ich weiter tun?
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Hallo bandchef,
> Naja, wer lesen kann ist klar im Vorteil. Wenn nun [mm]a_n > 0[/mm]
> sein muss, ist dann Fall 2 der Richtige? Wenn ja, was muss
> ich weiter tun?
Aus Fall 2 folgt doch, daß [mm]a_{n} \ge \wurzel{x_{0}}[/mm]
und damit ...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mo 18.04.2011 | | Autor: | bandchef |
es folgt dann, dass die Folge nach oben beschränkt ist, oder?
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Hallo bandchef,
> es folgt dann, dass die Folge nach oben beschränkt ist,
> oder?
Es folgt dann, dass die Folge nach unten beschränkt ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Mo 18.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Ah, natürlich! Ich hab bei mir auf dem Blatt nach anderen Seiten aufgelöst. Du hast recht nach unten beschränkt. Wie kann man dadurch auf den lim schließen?
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Hallo bandchef,
> Ah, natürlich! Ich hab bei mir auf dem Blatt nach anderen
> Seiten aufgelöst. Du hast recht nach unten beschränkt.
> Wie kann man dadurch auf den lim schließen?
Da [mm]a_{n} \ge \wurzel{x_{0}}[/mm] und [mm]a_{n+1} \leq a_{n}[/mm]
gilt
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=\wurzel{x_{0}}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Mo 18.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Hm, danke jetzt ist es mir klar, aber: "Da muss man aber schon erst mal drauf kommen, oder?"
Danke!
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Hallo bandchef,
> Hm, danke jetzt ist es mir klar, aber: "Da muss man aber
> schon erst mal drauf kommen, oder?"
So schwer ist das nicht: ![[]](/images/popup.gif) Grenzwert
>
> Danke!
Gruss
MathePower
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:21 Mo 18.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
bandchef hat ja nicht gezeigt, dass die Ungleichung
$ [mm] \frac{x_0-a^2_n}{2\cdot a_n} \leq [/mm] 0 $ gilt, sondern nur, dass wenn sie gilt die folge monoton fallend ist.
dass sie gilt ist nur richtig, wenn [mm] a_n^2>x_0 [/mm] ist und das muss als erstes (durch Induktion ) gezeigt werden.
Gruss leduart
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