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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Fr 13.10.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
hey leute,
ich habe folgende def. für monom bei wiki gefunden:
"In der Algebra ist ein Monom ein Polynom, das nur aus Produkten und Potenzen der Variablen und Koeffizienten besteht; zum Beispiel ein Term der Form [mm] ax_iy_j. [/mm] Jedes Polynom ist aus Monomen zusammengesetzt"
was mich jetzt irritiert ist, dass [mm] ax_iy_j [/mm] 2variablen enthält, wobei polynome ja nur eine variabel besitzen laut def oder nicht? demnach ist ein monom ja kein polynom ohne summen oder?
ich hoffe ihr versteht was ich meine,
gruß Ari =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Fr 13.10.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Ari.
> was mich jetzt irritiert ist, dass $ [mm] ax_iy_j [/mm] $ 2variablen enthält, wobei polynome ja nur eine variabel besitzen laut def oder nicht? demnach ist ein monom ja kein polynom ohne summen oder?
Ich nehme an, du meinst $a [mm] x^i y^j$. [/mm]
Der Denkfehler liegt darin, dass Polynome für dich bisher nur auf eine unbestimmte beschränkt sind. In diesem Falle wären die Monome genau die Terme $a [mm] x^i$ [/mm] für natürliches $i$ und $a$ einem zu Grunde liegenden Ring (z.B. [mm] $\IR$).
[/mm]
Man kann aber auch Polynome in mehreren Variablen betrachten. Den Polynomring in 2 Unbestimmten über dem Ring $R$ z.B. könnte man beschrieben als die Menge der endlichen formalen Summen von Ausdrücken der Form $a [mm] x^i y^i$ [/mm] für [mm] $a\in [/mm] R$ versehen mit der "natürlichen" Addition und Multiplikation; dabei habe ich die Unbestimmten willkürlich als $x$ und $y$ bezeichnet. Diese Terme $a [mm] x^i y^i$, [/mm] aus denen sich ein Polynom durch endliche Summenbildung zusammensetzt, sind genau die Monome.
Für eine andere Definition schaust du dir am besten mal die Definition von Polynomringen über gegebenen Ringen an. Wie der Name schon sagt, ist ein Polynomring selbst ein Ring und man kann einen 2. Polynomring betrachten, dessen zu Grunde liegender Ring eben der Polynomring über $R$ ist. Durch diese iterierte Bildung von Polynomringen erhält man dann Polynome in beliebig vielen Unbestimmten.
Ich hoffe ich konnte dir ein wenig helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Fr 13.10.2006 | | Autor: | AriR |
mein problem lag darin, dass polynom bei wiki als folgende gestalt definiert ist:
[mm] \summe^n_{i=0}a_i*x^i [/mm] für ein [mm] n\in\IN
[/mm]
und da taucht ja keine 2te variable auf. ist diese definition dann zu speziell für polynome und nicht allgemeingültig?
da steht noch x ist ein bel. Ring. Mit Ringen habe ich mich noch nie so beschäftigt, könnte es dann sein, dass das x mehrer komponenten oder sowas hat, was sozusagen mehrer variablen bedeutet.
danke und gruß
Ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Fr 13.10.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Ari
> mein problem lag darin, dass polynom bei wiki als folgende
> gestalt definiert ist:
>
> [mm]\summe^n_{i=0}a_i*x^i[/mm] für ein [mm]n\in\IN[/mm]
>
> und da taucht ja keine 2te variable auf. ist diese
> definition dann zu speziell für polynome und nicht
> allgemeingültig?
Ganz unten im ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel steht doch die verallgemeinerte Definition, und auch der Zusammenhang zu dem Begriff Monom.
> da steht noch x ist ein bel. Ring. Mit Ringen habe ich mich
> noch nie so beschäftigt, könnte es dann sein, dass das x
> mehrer komponenten oder sowas hat, was sozusagen mehrer
> variablen bedeutet.
Nein, mit Ringen hat das nichts zu tun. Den Begriff "Ring" zu kennen ist nicht wesentlich für das Verständnis dafür, wie ein Polynom aufgebaut ist.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Fr 13.10.2006 | | Autor: | AriR |
jo danke, hätte mal par zeilen weitergehen sollen +g+
gruß
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