mögliche Jordansche Normalform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Damn88 |
| Aufgabe | | Es sei A [mm] \in M(2x2,\IC) [/mm] und detA [mm] \not= [/mm] 0. Geben Sie (mit Begründung) alle möglichen Jordanschen Normalformen von A an. |
Hallo,
meine ersten Überlegungen waren:
entweder gibt es 2 komplexe EW [mm] \mu [/mm] und [mm] \mu^-(damit [/mm] meine ich das komplex konjugierte von [mm] \mu)
[/mm]
=> J = [mm] \pmat{ \mu & 0 \\ 0 & \mu^- }
[/mm]
oder es gibt 2 reelle EW, dann würde J so wie oben aussehen nur mit zB [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu
[/mm]
oder es gibt einen reellen EW
=> J= [mm] \pmat{ \mu & 0 \\ 0 & \mu } [/mm] oder [mm] \pmat{ \mu & 1 \\ 0 & \mu}
[/mm]
Doch dann habe ich mich gefragt, was es bedeutet, dass detA [mm] \not=0 [/mm] ist
detA [mm] \not= [/mm] 0 => die Spalten von A sind linear unabhängig
doch wozu führt das?
Könnt ihr mir vielleicht ein wenig helfen?
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Hallo Damn88,
> Es sei A [mm]\in M(2x2,\IC)[/mm] und detA [mm]\not=[/mm] 0. Geben Sie (mit
> Begründung) alle möglichen Jordanschen Normalformen von A
> an.
> Hallo,
> meine ersten Überlegungen waren:
> entweder gibt es 2 komplexe EW [mm]\mu[/mm] und [mm]\mu^-(damit[/mm] meine
> ich das komplex konjugierte von [mm]\mu)[/mm]
> => J = [mm]\pmat{ \mu & 0 \\ 0 & \mu^- }[/mm]
> oder es gibt 2
> reelle EW, dann würde J so wie oben aussehen nur mit zB
> [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm]
> oder es gibt einen reellen EW
> => J= [mm]\pmat{ \mu & 0 \\ 0 & \mu }[/mm] oder [mm]\pmat{ \mu & 1 \\ 0 & \mu}[/mm]
>
> Doch dann habe ich mich gefragt, was es bedeutet, dass detA
> [mm]\not=0[/mm] ist
>
> detA [mm]\not=[/mm] 0 => die Spalten von A sind linear unabhängig
> doch wozu führt das?
> Könnt ihr mir vielleicht ein wenig helfen?
>
det[mm]\left(A\right)\not=0[/mm] heißt, daß die Matrix A Eigenwerte hat, die von 0 verschieden sind.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 So 20.04.2008 | | Autor: | Damn88 |
hey,
danke für deine Antwort.
Ich komm leider immer noch nicht so ganz klar.
Ändert denn dann die Angabe [mm] det(A)\not= [/mm] 0 überhaupt irgendwas?
Ein [mm] \lambda [/mm] oder ein [mm] \mu [/mm] wie aus meinem ersten Eintrag wäre dann eben nicht die 0, aber was bringt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 So 20.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> danke für deine Antwort.
> Ich komm leider immer noch nicht so ganz klar.
> Ändert denn dann die Angabe [mm]det(A)\not=[/mm] 0 überhaupt
> irgendwas?
Ja.
> Ein [mm]\lambda[/mm] oder ein [mm]\mu[/mm] wie aus meinem ersten Eintrag
> wäre dann eben nicht die 0, aber was bringt das?
Nein, beide.
Die Determinante ist das Produkt aller Eigenwerte (inkl. Vielfachheiten).
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 So 20.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Es sei A [mm]\in M(2x2,\IC)[/mm] und detA [mm]\not=[/mm] 0. Geben Sie (mit
> Begründung) alle möglichen Jordanschen Normalformen von A
> an.
>
> meine ersten Überlegungen waren:
> entweder gibt es 2 komplexe EW [mm]\mu[/mm] und [mm]\mu^-(damit[/mm] meine
> ich das komplex konjugierte von [mm]\mu)[/mm]
> => J = [mm]\pmat{ \mu & 0 \\ 0 & \mu^- }[/mm]
> oder es gibt 2
> reelle EW, dann würde J so wie oben aussehen nur mit zB
> [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm]
> oder es gibt einen reellen EW
> => J= [mm]\pmat{ \mu & 0 \\ 0 & \mu }[/mm] oder [mm]\pmat{ \mu & 1 \\ 0 & \mu}[/mm]
Du hast eine Menge Moeglichkeiten ausgeschlossen! Etwa dass $A$ die Eigenwerte $i$ und $i + 1$ hat. (Also zwei nicht komplex konjugierte Eigenwerte.) In der Aufgabenstellung steht ja nichts davon, dass das charakteristische Polynom von $A$ reelle Koeffizienten hat!
LG Felix
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