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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Mi 17.09.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
sei [mm] \phi [/mm] das Polynom [mm] (t-1)^3(t+1)^2 \in \IC[/mm] [t]
Zeigen Sie: Zwei komplexe 5x5 Matrizen mit dem charakteristischen Polynom [mm] \phi [/mm] sind ähnlich, wenn ihre Minimalpolynome übereinstimmen
Also, ich hätte jetzt einfach gesagt, dass zwei ähnliche Matrizen die gleichen Eigenwerte haben. Da jeder Eigenwert einer komplexen Matrix auch eine Nullstelle ihres Minimalpolynoms ist und ein komplexes polynom vollständig zerfällt, müssen die beiden Minimalpolynome gleich sein.
mhhh wahrscheinlich mach ich es mir da ein bisschen einfach ...
danke für verbesserungen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Mi 17.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> sei [mm]\phi[/mm] das Polynom [mm](t-1)^3(t+1)^2 \in \IC[/mm] [t]
> Zeigen Sie: Zwei komplexe 5x5 Matrizen mit dem charakteristischen Polynom [mm]\phi[/mm] sind ähnlich, wenn ihre Minimalpolynome übereinstimmen
>
> Also, ich hätte jetzt einfach gesagt, dass zwei ähnliche Matrizen die gleichen Eigenwerte haben. Da jeder Eigenwert einer komplexen Matrix auch eine Nullstelle ihres
> Minimalpolynoms ist und ein komplexes polynom vollständig zerfällt, müssen die beiden Minimalpolynome gleich sein.
Damit hast du nur gezeigt, dass ähnliche Matrizen das gleiche Minimalpolynom haben. Gefragt ist aber nach der Umkehrung. Die ist i.A. natürlich falsch, aber in diesem speziellen Fall ist sie richtig.
Hier könnte man über die Jordansche Normalform argumentieren. Zwei Matrzien sind ja ähnlich genau dann, wenn sie dieselbe Jordansche Normalform haben. Alles was du brauchst ist:
1) Das Minimalpolynom teilt das charakteristische Polynom
2) Die Eigenwerte sind die Nullstellen des Minimalpolynoms
3) Die Potenzen der Linearfaktoren im Minimalpolynom sind die Größen der größten Jordankästchen der entsprechenden Eigenwerte.
Jetzt musst du nur noch alle möglichen Minimalpolynome ausprobieren und schauen ob dadurch die JNF eindeutig bestimmt ist. Ich komme da auf 6 Möglichkeiten.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Mi 17.09.2008 | | Autor: | vivo |
> Hier könnte man über die Jordansche Normalform argumentieren. Zwei Matrzien sind ja ähnlich genau dann, wenn sie dieselbe Jordansche Normalform haben. Alles was du brauchst ist:
> 1) Das Minimalpolynom teilt das charakteristische Polynom
> 2) Die Eigenwerte sind die Nullstellen des Minimalpolynoms
> 3) Die Potenzen der Linearfaktoren im Minimalpolynom sind die Größen der größten Jordankästchen der entsprechenden Eigenwerte.
> Jetzt musst du nur noch alle möglichen Minimalpolynome ausprobieren und schauen ob dadurch die JNF eindeutig bestimmt ist. Ich komme da auf 6 Möglichkeiten.
also ich habe hier doch die Eigenwerte 1 mit algebraischer Vielfachheit 3 und -1 mit algebraischer Vielfachheit 2, d.h. zum EW 1 muss es eine 3x3 Matrix geben und zum EW -1 eine 2x2
und das Minimalpolynom muss doch (t-1)(t+1) sein da jeder Eigenwert auch Nullstelle des MP ... oder?
aber dann wären die größten Jordankästchen zu jedem EW nur 1 groß und die Matrix würde insgesamt nur auf der Diagonale Einträge haben und zwar 1 auf den ersten drei und -1 auf den letzten beiden.
mhhhh ??????????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Mi 17.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> > 1) Das Minimalpolynom teilt das charakteristische
> Polynom
> > 2) Die Eigenwerte sind die Nullstellen des
> Minimalpolynoms
> > 3) Die Potenzen der Linearfaktoren im Minimalpolynom
> sind die Größen der größten Jordankästchen der
> entsprechenden Eigenwerte.
> also ich habe hier doch die Eigenwerte 1 mit algebraischer
> Vielfachheit 3 und -1 mit algebraischer Vielfachheit 2
> d.h. zum EW 1 muss es eine 3x3 Matrix geben und zum EW -1
> eine 2x2
Richtig.
> und das Minimalpolynom muss doch (t-1)(t+1) sein da jeder
> Eigenwert auch Nullstelle des MP ... oder?
Es kann auch [mm] $(t-1)^2(t+1)$ [/mm] sein.
> aber dann wären die größten Jordankästchen zu jedem EW nur
> 1 groß und die Matrix würde insgesamt nur auf der Diagonale
> Einträge haben und zwar 1 auf den ersten drei und -1 auf
> den letzten beiden.
Also die Schlussfolgerung stimmt, aber wie gesagt, das Minimalpolynom kann auch anders aussehen. Aber prinzipiell hast du es ja verstanden, jetzt musst du nur noch die restlichen fünf Fälle für das Minimalpolynom ausprobieren.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mi 17.09.2008 | | Autor: | vivo |
danke soweit!
also jetzt sieht man ja dass die jrodansche normalform eindeutig festgelegt wird durch das minimalpolynom und da ähnliche matrizen die selebe jnf haben müssen, muss das minimalpolynom gleich sein.
eine frage noch: ich hab gerade gesucht warum die algebraische vielfachheit der nullstellen im minimalpolynom die größe des größten jordanblocks angibt, konnte aber leider nichts finden.
woraus resultiert dass?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Mi 17.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> eine frage noch: ich hab gerade gesucht warum die
> algebraische vielfachheit der nullstellen im minimalpolynom
> die größe des größten jordanblocks angibt, konnte aber
> leider nichts finden.
>
> woraus resultiert dass?
Das ist relativ tiefliegend. Wenn du eines schönen Tages die JNF wirklich verstanden hast, wird es vollkommen klar sein. Aber ich will versuchen es wenigstens plausibel zu machen:
Mache dir klar, dass das Minimalpolynom invariant gegenüber Basistransformationen ist. Damit ist das Minimalpolynom einer Matrix gleich dem Minimalpolynom ihrer JNF. Es reicht also, die Behauptung für die JNF zu zeigen. Gäbe es einen größeren Jordanblock, dann könnte das Minimalpolynom die JNF nicht annulieren, aber das ist ein Widerspruch zur Definition des Minimalpolynoms.
Warum könnte es die JNF nicht annulieren? Dazu musst du dir anschauen, wie die Potenzen von Matrizen der Form [mm] $$\pmat{0&1&...&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&...&1\\0&0&...&0}$$ [/mm] aussehen. Du siehst, dass sie nilpotent sind und die Periode ist genau die Größe dieser Matrizen. Wenn du jetzt die JNF in das Minimalpolynom einsetzt, siehst du wie einfach jedes Jordankästchen annuliert wird.
PS: Über die Begriffe Jordanblock und Jordankästchen sind sich viele Bücher nicht einig. Ich benutze es wie Wikipedia, zu jedem Eigenwert gibt es einen Jordanblock, der i.A. aus mehreren Jordankästchen besteht. Die Jordankästchen haben die Form
[mm] $$\pmat{\lambda&1&...&0&0\\0&\lambda&...&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\hdots\\0&0&\hdots&\lambda &1\\0&0&\hdots&0&\lambda}$$
[/mm]
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Mi 17.09.2008 | | Autor: | vivo |
vielen dank ...
gruß
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