minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Mo 21.05.2007 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | bestimmen sie das minimalpolynom der matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -3 & 2 \\-3&3&5&-2\\-2&2&2&-1}
[/mm]
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hey leute
habe versucht das char polynom zunächst zu berechnen und folgendes rausbekommen:
[mm] \lambda^4-6\lambda^3+27\lambda^2-25\lambda-2
[/mm]
wollte dies weiter per polynomdivision versuchen in linearfaktoren zu zerlegen, aber da würden so krumme werte rauskommen, dass ich es gar nicht erst versuchst habe, weil es sicher eine viel bessere lösung gibt.
hat vielleicht von euch jemand eine idee wie man sowas macht? :(
Gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Mo 21.05.2007 | | Autor: | statler |
> bestimmen sie das minimalpolynom der matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -3 & 2 \\-3&3&5&-2\\-2&2&2&-1}[/mm]
> habe versucht das char polynom zunächst zu berechnen und
> folgendes rausbekommen:
>
> [mm]\lambda^4-6\lambda^3+27\lambda^2-25\lambda-2[/mm]
Mahlzeit!
Das halte ich mindestens wegen dieses Terms
[mm] -6\*\lambda^{3}
[/mm]
für falsch, da müßte [mm] -4\*\lambda^{3} [/mm] stehen. Mit dem Rest habe ich mich nicht beschäftigt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Mo 21.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Ari!
> bestimmen sie das minimalpolynom der matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -3 & 2 \\-3&3&5&-2\\-2&2&2&-1}[/mm]
>
> hey leute
>
> habe versucht das char polynom zunächst zu berechnen und
> folgendes rausbekommen:
>
> [mm]\lambda^4-6\lambda^3+27\lambda^2-25\lambda-2[/mm]
Laut Maple sollte es [mm] $\lambda^4 [/mm] - 4 [mm] \lambda^3 [/mm] + 5 [mm] \lambda^2 [/mm] - 4 [mm] \lambda [/mm] + 4$ sein.
> wollte dies weiter per polynomdivision versuchen in
> linearfaktoren zu zerlegen, aber da würden so krumme werte
> rauskommen, dass ich es gar nicht erst versuchst habe, weil
> es sicher eine viel bessere lösung gibt.
>
> hat vielleicht von euch jemand eine idee wie man sowas
> macht? :(
Also das char. Poly und dessen Primfaktorzerlegung brauchst du sowieso.
Wenn du das hast, probierst du entweder einfach durch was es sein koennte (das ist wohl die Methode die du schon kennst), oder du rechnest die Nilpotenzindices der Eigenwerte aus, indem du [mm] $\dim \ker [/mm] (A - [mm] \lambda E_n)^k$ [/mm] fuer $k = 1, 2, 3, ...$ (bis hoechstens zum Exponenten von [mm] $\lambda$ [/mm] im char. Poly) bestimmst und schaust, wann das konstant wird. (Das ist auch nicht weniger Rechenarbeit als Ausprobieren...)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mo 21.05.2007 | | Autor: | AriR |
hey jungs
hab das char polynom jetzt einfahc mal so hingenommen und das weiter umgeformt zu:
[mm] (\lambda^2+1)(\lambda-2)^2
[/mm]
dachte dann das min.polynom wäre [mm] (\lambda-2), [/mm] weil es dann die selben nullstellen hätte wie das char.polynom. und dsa auch teilen würde und das wäre das kleinstmögliche polynom, nur irgendwie klappt das nicht so ganz, auch nicht für [mm] (\lambda-2)^2
[/mm]
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> hab das char polynom jetzt einfahc mal so hingenommen und
> das weiter umgeformt zu:
>
> [mm](\lambda^2+1)(\lambda-2)^2[/mm]
>
> dachte dann das min.polynom wäre [mm](\lambda-2),[/mm] weil es dann
> die selben nullstellen hätte wie das char.polynom.
Hallo,
das Minimalpolynom muß sämtliche Nullstellen mit dem charakteristischen Polynom gemeinsam haben und dieses teilen.
Es haben auch [mm] (\lambda^2+1)(\lambda-2) [/mm] und [mm] (\lambda^2+1)(\lambda-2)^2 [/mm] dieselben Nullstellen wie das charakteristische Polynom und teilen dieses.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mo 21.05.2007 | | Autor: | AriR |
sind mit allen auch die komplexen nst gemeint? auch wenn der zugrundeliegen körper [mm] \IR [/mm] ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Mo 21.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Ari!
> sind mit allen auch die komplexen nst gemeint? auch wenn
> der zugrundeliegen körper [mm]\IR[/mm] ist?
Wenn du das ueber die Nullstellen ausdrueckst, sind auch die komplexen gemeint (bzw. allgemeiner, die aus einem Zerfaellungskoerper).
Du kannst das ganze aber auch ueber Primfaktoren ausdruecken: charakteristisches Polynom und Minimalpolynom muessen die gleichen Primfaktoren haben. Und in diesem Fall ist [mm] $x^2 [/mm] + 1$ ein Primfaktor (da es ein nicht-konstantes unzerlegbares Polynom in [mm] $\IR[x]$ [/mm] ist, also prim).
LG Felix
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