minimales Erzeugendensystem < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Mo 18.08.2008 | | Autor: | cares87 |
| Aufgabe | Sei {0} [mm] \not= [/mm] V ein K-VR und [mm] (v_{i})_{i \in I}Vektoren. [/mm] Dann sind äquivalent:
a) [mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] ist Basis
[mm] b)(v_{i})_{i \in I} [/mm] ist minimales Erzeugendensystem, d.h. für J [mm] \subset [/mm] I, J [mm] \not= [/mm] I gilt span [mm] (v_{i})_{i \in J} \not= [/mm] V
c) [mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] ist maximale lin. unabhängige Familie, d.h. für I [mm] \subset [/mm] J, I [mm] \not= [/mm] J gilt [mm] (v_{i})_{i \in J} [/mm] ist lin. abh.
d) Jedes v [mm] \in [/mm] V lässt sich eindeutig aus [mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] lin. kombinieren |
Ich lern grad für meien mündlichen Prüfungen und hab son paar ganz blöde Fragen zu einigen Beweisen...
So, wir haben eine Ringschluss gemacht.
Als erstes der Schritt von a) nach b):
wir haben gezeigt, dass [mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] ein Er.system sein muss, das sonst ja keien Basis währe, logisch. ok, jetzt zeigen wir, dass es auch minimal sein muss, wäre es das nicht gäbe es ja ein J [mm] \subset [/mm] I, J [mm] \not= [/mm] I mit span [mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] =V. Jetzt haben wir uns ein k [mm] \in J\I [/mm] gesucht und für dieses würde dann gelten: j [mm] _{1},...,j_{n} \in [/mm] J und [mm] \lambda_{j_{1}},...,\lambda_{j_{n}} \in [/mm] K mit [mm] v_{k}= \summe_{l=1}^{n} \lambda_{j_{l}}v_{j_{l}}. [/mm] woraus folgen würde, dass [mm] (v_{k},v_{j_{1}},...,v_{j_{n}}) [/mm] lin. abhängig ist --> widerspruch.
Leider steh ich halt bei dem Schritt total aufm Schlauch...
Auch beim Achrit von b) nach c) steck ich fest:
Ok, wenn I 0 odre ein Elemet hat, ists logisch, aber für |I|>1.. ah nein, vergesst den Teil, hat sich grad geklärt... (Der Kaffee wirkt wohl!)
ok, der Rets auch... Aber wär nett, wenn ihr ma zu dem Teil oben auch was sgane könntet, wahrscheinlich ist das auch ganz einfach!
Vielen Dank schon mal.
lg, Caro
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei {0} [mm]\not=[/mm] V ein K-VR und [mm](v_{i})_{i \in I}Vektoren.[/mm]
> Dann sind äquivalent:
> a) [mm](v_{i})_{i \in I}[/mm] ist Basis
> [mm]b)(v_{i})_{i \in I}[/mm] ist minimales Erzeugendensystem, d.h.
> für J [mm]\subset[/mm] I, J [mm]\not=[/mm] I gilt span [mm](v_{i})_{i \in J} \not=[/mm]
> V
> c) [mm](v_{i})_{i \in I}[/mm] ist maximale lin. unabhängige
> Familie, d.h. für I [mm]\subset[/mm] J, I [mm]\not=[/mm] J gilt [mm](v_{i})_{i \in J}[/mm]
> ist lin. abh.
> d) Jedes v [mm]\in[/mm] V lässt sich eindeutig aus [mm](v_{i})_{i \in I}[/mm]
> lin. kombinieren
> Ich lern grad für meien mündlichen Prüfungen und hab son
> paar ganz blöde Fragen zu einigen Beweisen...
> So, wir haben eine Ringschluss gemacht.
> Als erstes der Schritt von a) nach b):
> wir haben gezeigt, dass [mm](v_{i})_{i \in I}[/mm] ein Er.system
> sein muss, das sonst ja keien Basis währe, logisch. ok,
> jetzt zeigen wir, dass es auch minimal sein muss, wäre es
> das nicht gäbe es ja ein J [mm]\subset[/mm] I, J [mm]\not=[/mm] I mit span
> [mm](v_{i})_{i \in I}[/mm] =V. Jetzt haben wir uns ein [mm] \red{k \in J \ I}
[/mm]
> gesucht und für dieses würde dann gelten: j [mm]_{1},...,j_{n} \in[/mm]
> J und [mm]\lambda_{j_{1}},...,\lambda_{j_{n}} \in[/mm] K mit [mm]v_{k}= \summe_{l=1}^{n} \lambda_{j_{l}}v_{j_{l}}.[/mm]
> woraus folgen würde, dass [mm](v_{k},v_{j_{1}},...,v_{j_{n}})[/mm]
> lin. abhängig ist --> widerspruch.
> Leider steh ich halt bei dem Schritt total aufm
> Schlauch...
Hallo,
beachte, daß das rot markierte falsch ist. Es müßte dort I \ J heißen.
Ich mache das jetzt mal ein ganz bißchen anders:
Du hast eine [mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] von V, und Du willst zeigen, daß das ein minimales Erzeugendensystem ist.
Das Augenmerk liegt hier auf "minimal", denn daß eine Basis ein Erzeugendensystem ist, ergibt sich ja schon aus der Definition der Basis.
Daß [mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] minimal ist, zeigt man per Widerspruch.
Annahme: [mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] ist nicht minimal. dann gibt es in [mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] mindestens einen Vektor [mm] v_k, [/mm] auf den man verzichten kann, dh. es gibt ein k, so daß [mm] (v_{i})_{i \in I \ \{k\}} [/mm] auch ein Erzeugendensystem ist. (Ein kleineres als [mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] !)
Da [mm] (v_{i})_{i \in I \ \{k\}} [/mm] ein Erzeugendensystem ist, kann man [mm] v_k [/mm] als Linearkombination der Vektoren aus [mm] (v_{i})_{i \in I \ \{k\}} [/mm] schreiben, also gibt es Koeffizienten [mm] a_i [/mm] mit
[mm] v_k=\summe_{i\in I \ \{k\}}a_iv_i
[/mm]
<==> 0= [mm] -(1)v_k+\summe_{i\in I \ \{k\}}a_iv_i [/mm]
Also kann man die Elemente aus [mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] nichttrivial zur Null linearkombinieren. Somit ist [mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] nicht linear unabhängig. Also ist [mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] keine Basis. Widerspruch.
Die Annahme, daß [mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] nicht minimal ist, führt zum Widerspruch. Also ist [mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] ein minimales Erzeugendensystem.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Mo 18.08.2008 | | Autor: | cares87 |
Viele Dank, hab ma die Korrekturen bei mir im Skript aufgenommen, fand deine antwort sehr verständlich. Danke :)
lg,
Caro
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