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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | G endliche Gruppe. N Normalteiler von G.
Z.z.: (Soc(N))/(N [mm] \cap [/mm] Soc(G)) ist eine 'semi-einfache' abelsche Gruppe |
Hallo!
Zunächst zur Sicherheit unsere Definitionen dazu:
Soc(G) ist die Untergruppe erzeugt von den minimalen Normalteilern Gs.
G ist semi-einfach, wenn Soc(G)=G.
Also wenn G das Produkt seiner minimalen Normalteiler ist. Für G endlich das direkte Produkt.
Ich habe mir jetzt erstmal einen einfacheren Fall angeguckt:
- angenommen N sei ein minimaler Normalteiler. Dann ist N [mm] \cap [/mm] Soc(G) = N.
zunächst habe ich gezeigt, dass Soc(N)/N abelsch ist.
Soc(N)/N ist abelsch [mm] \gdw [/mm] (Soc(N))' [mm] \subsetqe [/mm] N. (den Beweis lasse ich hier jetzt weg, wenn ihn wer sehen möchte sagt bescheid :) )
Mit (Soc(N))' = {[u,v] : u,v [mm] \in [/mm] Soc(N)} gilt das.
Also fehlt noch Soc(Soc(N)/N) = Soc(N)/N.
Das gilt wenn unser Soc(N)/N Produkt seiner minimalen Normalteiler ist.
Soc(N) = [mm] U_{1} \times U_{2} \times [/mm] ... [mm] \times U_{r} (U_{i} [/mm] mini. NT).
Ich meine mich zu erinnern, das folgendes gilt:
[mm] (U_{1} \times U_{2} \times [/mm] ... [mm] \times U_{r})/N \cong U_{1}/N \times [/mm] ... [mm] \times U_{r}/N.
[/mm]
Stimmt das?
Wie kann ich hier jetzt weiter machen? Und ist es überhaupt sinnvoll, dass ich mit der reduzierten Variante anfange?
Ganz lg :)
Loko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:35 Fr 23.11.2012 | | Autor: | hippias |
> G endliche Gruppe. N Normalteiler von G.
> Z.z.: (Soc(N))/(N [mm]\cap[/mm] Soc(G)) ist eine 'semi-einfache'
> abelsche Gruppe
> Hallo!
>
> Zunächst zur Sicherheit unsere Definitionen dazu:
> Soc(G) ist die Untergruppe erzeugt von den minimalen
> Normalteilern Gs.
> G ist semi-einfach, wenn Soc(G)=G.
> Also wenn G das Produkt seiner minimalen Normalteiler ist.
> Für G endlich das direkte Produkt.
>
> Ich habe mir jetzt erstmal einen einfacheren Fall
> angeguckt:
> - angenommen N sei ein minimaler Normalteiler. Dann ist N
> [mm]\cap[/mm] Soc(G) = N.
> zunächst habe ich gezeigt, dass Soc(N)/N abelsch ist.
Wenn Du eine Faktorstruktur bildest, steht "unten" immer die kleinere Struktur; obwohl es hier funktioniert, weil eben $Soc(N)= N$ ist, wuerdest Du eher nur $N/Soc(N)$ bilden koennen.
> Soc(N)/N ist abelsch [mm]\gdw[/mm] (Soc(N))' [mm]\subsetqe[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> N. (den
> Beweis lasse ich hier jetzt weg, wenn ihn wer sehen möchte
> sagt bescheid :) )
> Mit (Soc(N))' = {[u,v] : u,v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Soc(N)} gilt das.
Naja, Du hast den Beweis ja weggelassen, aber ich habe groesste Zweifel, dass die Argumentation richtig ist.
>
> Also fehlt noch Soc(Soc(N)/N) = Soc(N)/N.
> Das gilt wenn unser Soc(N)/N Produkt seiner minimalen
> Normalteiler ist.
> Soc(N) = [mm]U_{1} \times U_{2} \times[/mm] ... [mm]\times U_{r} (U_{i}[/mm]
> mini. NT).
> Ich meine mich zu erinnern, das folgendes gilt:
> [mm](U_{1} \times U_{2} \times[/mm] ... [mm]\times U_{r})/N \cong U_{1}/N \times[/mm]
> ... [mm]\times U_{r}/N.[/mm]
> Stimmt das?
Nein, wenn Du die Oberstruktur ausfaktorisiert kommt ueberall $1$ heraus.
>
> Wie kann ich hier jetzt weiter machen? Und ist es
> überhaupt sinnvoll, dass ich mit der reduzierten Variante
> anfange?
Mein Tip: Mache Dir ein paar grundsaetzliche Beziehungen klar: Wenn $N$ Normalteiler von $G$ ist,dann zerfaellt die Menge der minimalen Normalteiler von $G$ einerseits in die Teilmenge, die die minimalen Ntler enthaelt, die in in $N$ enthalten sind, und denen, die mit $N$ trivialen Durchschnitt haben.
Ferner: Ist $L$ minimaler Nt. von $N$, was kann man kann ueber Normalteiler [mm] $L^{G}$ [/mm] von $G$ hinsichtlich des Sockels sagen?
>
> Ganz lg :)
> Loko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Loko |
Hallo!
Die Aussage wo ich den Beweis weggelassen habe, da sollte eigentlich
"Soc(N)/N ist abelsch [mm] \gdw [/mm] (Soc(N))' [mm] \subseteq [/mm] N"
stehen.
Vielen Dank jedenfalls für deine Antwort!!
Ich werd mir das also nochmal genauer anschauen.
Lg :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:59 Sa 24.11.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo!
> Die Aussage wo ich den Beweis weggelassen habe, da sollte
> eigentlich
> "Soc(N)/N ist abelsch [mm]\gdw[/mm] (Soc(N))' [mm]\subseteq[/mm] N"
> stehen.
>
> Vielen Dank jedenfalls für deine Antwort!!
> Ich werd mir das also nochmal genauer anschauen.
>
> Lg :)
Die Aussage $G/N$ abelsch [mm] $\iff G'\leq [/mm] N$ ist natuerlich richtig, aber sinnvoll ist ist sie nur, wie gesagt, wenn $N$ in $G$ enthalten ist (und Normalteiler) und nicht umgekehrt. Du hast die Vertauschung, glaube ich, ziemlich haeufig in Deinem Text.
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