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| Aufgabe | Sei [mm] $(X,\|\cdot\|) [/mm] $ ein Banachraum und [mm] $f:X\to [/mm] X $ mit $F(X):=x+f(x) $ eine bijektive strikte Kontraktion mit der Konstanten $0<a<1 $.
Zeige:
[mm] $\|F^{-1}(y)-F^{-1}(y')\|\le \bruch{1}{1-a}\|y-y'\| [/mm] $ für alle [mm] $y,y'\in [/mm] X $. |
Hey,
habe hier ein Problem bei dieser Aufgabe.
Mein Ansatz:
Seien [mm] $y,y'\in [/mm] X $, dann gilt:
(i) F bijektiv, also
[mm] $\exists [/mm] ! x,x' $ mit $y=F(x), y'=F(x') $
(ii) F strikte Kontraktion mit $0<a<1 $, also gilt
[mm] $\|F(x)-F(x')\|\le a\|x-x'\|$
[/mm]
Jetzt gilt nach VL ein Satz
Für [mm] $c,c',b,b'\in [/mm] X $ gilt:
(iii) [mm] $\|b-b'\|\le a\|c-c'\|$ [/mm] mit $0<a<1 & [mm] &\Rightarrow \|c-c'\|\le\bruch{1}{1-a}\|b+c-c'-b'\|$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \|x-x'\|\le\bruch{1}{1-a}\|x+F(x)-x'-F(x')\|
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \|F^{-1}(F(x))-F^{-1}(F(x'))\|\le\bruch{1}{1-a}\|x+F(x)-x'-F(x')\|
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \|F^{-1}(y)-F^{-1}(y)\|\le\bruch{1}{1-a}\|x+y-x'-y\|$ [/mm]
Das kommt irgendwie nicht hin.
Selbst wenn ich bevor ich den Satz (iii) benutze, einmal die Symmetrie der Metrik [mm] d_{\|\cdot\|} [/mm] ausnutze, ergibt sich nur:
[mm] $\|F(x)-F(x')\|\le a\|x-x'\|
[/mm]
[mm] \Rightarrow \|F(x')-F(x)\|\le a\|x-x'\|
[/mm]
[mm] \Rightarrow \|x-x'\|\le\bruch{1}{1-a}\|x+F(x')-x'-F(x)\|
[/mm]
[mm] \Rightarrow \|F^{-1}(F(x))-F^{-1}(F(x'))\|\le\bruch{1}{1-a}\|x+F(x')-x'-F(x)\|
[/mm]
[mm] \Rightarrow \|F^{-1}(y)-F^{-1}(y)\|\le\bruch{1}{1-a}\|x+(x'+f(x'))-x'-(x+f(x)\|$ [/mm]
[mm] \Rightarrow \|F^{-1}(y)-F^{-1}(y)\|\le\bruch{1}{1-a}\|f(x')-f(x)\|$ [/mm]
Und das ist auch nicht das zu Zeigende.
Und überhaupt wundert, dass wenn ich die nur die Symmetrie ausnutze, ein völlig anderes Ergebniss rauskommt.
Gruß
Diddy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 17.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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