metrischer Raum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Mi 24.05.2006 | | Autor: | stak44 |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Raum, und seien f, g [mm] \in [/mm] C(X, [mm] \IR).
[/mm]
Zeigen Sie:
(a) Die Menge {x [mm] \in [/mm] X: f(x) [mm] \le [/mm] g(x)} ist abgeschlossen in X.
(b) Die Menge {x [mm] \in [/mm] X: f(x) < g(x)} ist offen in X. |
Ich finde keinen Ansatz für die Aufgabe. Kann mir da jemand helfen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 Mi 24.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo stak!
> Sei (X,d) ein metrischer Raum, und seien f, g [mm]\in[/mm] C(X,
> [mm]\IR).[/mm]
> Zeigen Sie:
> (a) Die Menge [mm]\{x \in X: f(x) \le g(x)\}[/mm] ist abgeschlossen
> in X.
> (b) Die Menge [mm]\{x \in X: f(x) < g(x)\}[/mm] ist offen in X.
> Ich finde keinen Ansatz für die Aufgabe. Kann mir da
> jemand helfen?
Du brauchst folgende zwei Fakten:
1) $C(X, [mm] \IR)$ [/mm] ist ein Vektorraum, bzw. du brauchst den Spezialfall $f - g [mm] \in [/mm] C(X, [mm] \IR)$.
[/mm]
2) Ist $f : X [mm] \to [/mm] Y$ stetig, so sind Urbilder von offenen Mengen in $Y$ unter $f$ offen in $X$.
Jetzt versuch mal, die oben genannten Mengen als Urbilder von offenen oder abgeschlossenen Mengen in [mm] $\IR$ [/mm] unter der Funktion $f - g$ zu schreiben.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Do 25.05.2006 | | Autor: | stak44 |
> Du brauchst folgende zwei Fakten:
> 1) [mm]C(X, \IR)[/mm] ist ein Vektorraum, bzw. du brauchst den
> Spezialfall [mm]f - g \in C(X, \IR)[/mm].
> 2) Ist [mm]f : X \to Y[/mm]
> stetig, so sind Urbilder von offenen Mengen in [mm]Y[/mm] unter [mm]f[/mm]
> offen in [mm]X[/mm].
>
> Jetzt versuch mal, die oben genannten Mengen als Urbilder
> von offenen oder abgeschlossenen Mengen in [mm]\IR[/mm] unter der
> Funktion [mm]f - g[/mm] zu schreiben.
Wie komme ich denn auf die Urbilder?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Do 25.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Du brauchst folgende zwei Fakten:
> > 1) [mm]C(X, \IR)[/mm] ist ein Vektorraum, bzw. du brauchst den
> > Spezialfall [mm]f - g \in C(X, \IR)[/mm].
> > 2) Ist [mm]f : X \to Y[/mm]
> > stetig, so sind Urbilder von offenen Mengen in [mm]Y[/mm] unter [mm]f[/mm]
> > offen in [mm]X[/mm].
> >
> > Jetzt versuch mal, die oben genannten Mengen als Urbilder
> > von offenen oder abgeschlossenen Mengen in [mm]\IR[/mm] unter der
> > Funktion [mm]f - g[/mm] zu schreiben.
>
> Wie komme ich denn auf die Urbilder?
Da musst du ein wenig knobeln. Wie ist denn das Urbild einer Menge unter einer Funktion definiert? Schreib doch z.B. mal das Urbild eines Intervalls $[a, b]$ unter der Funktion $f(x) - g(x)$ hin.
LG Felix
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