metrischer Raum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 So 11.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Guten Abend!
Hab mal zwei kurze Fragen zu folgender Aufgabe: Wir betrachten einen metrischen Raum ( [mm] \IR,d_{2}), [/mm] wo [mm] d_{2} [/mm] den euklidischen Abstand bezeichnet. Ich soll nun bezogen auf diese Aufgabe zuerst alle Häufungspunkte von a:= [mm] \{ 1/m+1/n :m,n \in \IN \ \{0 \} \} [/mm] in [mm] \IR [/mm] angeben. Also irgendwie hab ich die Sache mit den Haäfungspunkten noch nicht ganz verstanden, auch bezüglich zu Häufungswerten bei Zahlenfolgen. Wie krieg ich das denn hier raus?
Ach ja, und dann soll ich noch begründen, warum B:= [mm] \IZ=\{x \in \IR : x ganzzahlig \} [/mm] keine offene Teilmenge von [mm] \IR [/mm] ist. Reicht es, wenn ich da einfach sage, dass int B [mm] \supset [/mm] B nicht erfüllt ist?
liebe Grüße und vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 Mo 12.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Franzie!
Ein Häufungspunkt einer Menge ist ein Punkt des umgebenden metrischen Raumes, für den in jeder Umgebung unendlich viele Elemente der Menge enthalten sind.
Mache dir hier mal klar, dass die Menge der Häufungspunkte der gegebenen Menge gerade
[mm] $H:=\{0\} \cup \bigcup\limits_{n \in \IN} \left\{ \frac{1}{n} \right\}$
[/mm]
ist. (Findest du Folgen mit Elementen der gegebenen Ausgangsmenge $A$, die gegen einen gegebenen Punkt der Menge $H$ konvergieren?)
[mm] $\IZ$ [/mm] ist deswegen nicht offen in [mm] $\IR$, [/mm] weil jede Umgebung einer ganzen Zahl nicht-ganze Zahlen enthält und damit nicht in [mm] $\IZ$ [/mm] enthalten ist.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mo 12.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Also so ganz hab ich das noch nicht verstanden mit den Häufungspunkten. Ich würd ja sagen, dass 0 und 1 die Häufungspunkte hier sind, aber ich befürchte ich verwechsle das noch zu sehr mit den Haüfungswerten von Folgen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Di 13.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Franzie
Julius hat dir doch die Menge aller HP geschrieben. ein HP ist ein Punkt, so dass in jeder beliebig kleinen Umgebung unendlich viele Punkte der Menge (oder der Folge) liegen.
Julius hat jetzt geschrieben, dass alle Punkte 1/n n natürliche Zahl HP sind, und zusätzlich 0. Jetzt überleg, warum das richtig ist. nimm 1/17 ist HP
setze m=17 und lass n alle werte von 1 bis unendlich durchlaufen. ab n=10000 etwa ist in der 1/10000 stel Umgebung von 1/17 noch immer unendlich viele Werte, usw. Du musst dir das einfach so vorstellen, dass für jedes feste m du unendlich viele ns hast oder für jedes feste n unendlich viele ms und wenn du n und m gleichzeitig gross werden lässt kriegst du auch noch in jeder Umgebung von 0 beliebig viele Elemente!
Dass du was nicht verstehst, kann ich ja einsehen, aber dass du auf die Antwort von Julius nicht genauer eingehst und nachfragst, find ich schlecht. Wir denken über unsere Antworten ne Weile nach, und dann musst du auch über die Antworten ne Weile grübeln, und versuchen deine fragen zu präzisieren. Besonders hilft dabei, sich immer wieder die Definitionen im genauen Wortlaut vorzusagen, und zu versuchen, dabei ne Vorstellung damit zu verbinden! Also mal den Punkt 1/2 auf dem Zahenstrahl aufzumalen, und zu überlegen, ob du ein paar oder viele Elemente in seiner Nähe findest. ES IST NICHT SO WICHTIG, ALS MIT DEFINITIONEN UMGEHEN ZU LERNEN, UND SIE SICH IMMER WIEDER VORZUBETEN, ohne das strandest du in Mathe schnell, und das ist auch die Hauptschwierigkeit beim Einstieg ins mathestudium, weil man das auf der Schule kaum oder gar nicht gemacht hat:
Gruss leduart
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