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| Aufgabe | Für nichtleere Mengen A;B [mm] \subset [/mm] X ist der Abstand von A nach B definiert durch d(A;B) =
inf [mm] \{d(a; b)| a \in A; b \in B \}
[/mm]
Beweise oder widerlege: Sind A;B abgeschlossen in X und disjunkt,
so ist d(A;B) > 0. |
Hallo liebes Team,
mein Beweis ist ziemlich kurz und ich denke deswegen, dass dieser falsch ist.
Mein Beweis:
Sei inf [mm] \{d(a; b)| a \in A; b \in B \}=0
[/mm]
d.h d(a,b)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=b, d.h. [mm] A\cap [/mm] B [mm] \not= \emptyset.
[/mm]
Dieses ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung.
Da die Metrik [mm] \ge [/mm] 0 ist, folgt:
inf [mm] \{d(a; b)| a \in A; b \in B \}> [/mm] 0
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Sa 23.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> Sei inf [mm]\{d(a; b)| a \in A; b \in B \}=0[/mm]
> d.h d(a,b)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] a=b, d.h. [mm]A\cap[/mm] B [mm]\not= \emptyset.[/mm]
Falsch. Das Infimum muss ja nicht unbedingt angenommen werden. Betrachte zum Beispiel [mm] $X=\IR$ [/mm] mit der Betragsmetrik, [mm] $A=\{0\}, [/mm] B=(0,1]$. Dann ist d(A,B)=0, obwohl die Mengen disjunkt sind.
Gruß, Robert
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ah stimmt ja....
dann ist dieses bsp. ja ein gegenbeispiel...
Ich danke Ihnen.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Sa 23.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> dann ist dieses bsp. ja ein gegenbeispiel...
Ein Gegenbeispiel für deinen falschen Beweis. Die Behauptung der Aufgabe stimmt aber trotzdem.
Gruß, Robert
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wie müsste ich denn nun vorgehen????
habe wirklich keine ahnung..
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das bsp. ist doch aber falsch....????
die mengen sind doch abgeschlossen..
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Hiho,
nein, (0,1] istg nicht abgeschlossen.
Ung genau die Abgeschlossenheit verwendest du in deinem Beweis ja noch nicht als Voraussetzung. Überlege dir, dass bei abgeschlossenen Mengen das Infimum auch angenommen wird!
MfG,
Gono.
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